Die Logarithmusfunktion in den Naturwissenschaften

In einem anderen Kapitel wurde die Exponentialfunktion vorgestellt, eine Funktion der Form f(x) = a^x. Mithilfe dieser Funktion lassen sich in der Naturwissenschaft viele “Phänomene” beschreiben (z.B. Bevölkerungswachstum). Nun stellt sich (in diesem Kapitel) die Frage, wie man solche Exponentialfunktionen lösen kann. Damit man die oben genannte Funktion nach der Variable x auflösen kann, verwendet man den sogenannten Logarithmus. Mit Hilfe des Logarithmus lassen sich (fast) alle Exponentialfunktionen lösen. Die drei bekannten Logarithmusfunktionen sind der natürliche, der dekadische und der binäre Logarithmus.

Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion

Wie bereits erwähnt, werden viele chemische, biologische und chemische Prozesse durch eine Exponentialfunktion beschreiben. In der Regel ist es Ziel der Naturwissenschaften bzw. Mathematik die unbekannte “Variable” (der unbekannte Exponent). Damit der Exponent der Exponentialfunktion bestimmt werden kann, muss die Gleichung so aufgelöst werden, dass der (ehemalige) Exponent auf einer Seite der Gleichung aufgelöst wird. Dies erreicht man mithilfe des Logarithmus bzw. der Logarithmusfunktion. Um eine Exponentialfunktion mithilfe des Logarithmus nach dem Exponenten aufzulösen, verwendet man folgende mathematische Beziehung:

Beispiel: 2³ = 8 => 3 = log₂ 8

Der Logarithmus (zur Basis b) der Zahl a entspricht dem Exponenten x, mit dem die Basis b potenziert wird. Dies gilt für alle Logarithmusfunktionen. IN den naturwissenschaftlichen Fächern haben sich im Grunde der Formen des Logarithmus durchgesetzt:

• Dekadischer Logarithmus : Logarithmus zur Basis 10. In der Regel schreibt man hier anstelle von “log₁₀” nur den Ausdruck”lg”.
• Natürlicher Logarithmus: Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl). In der Regel schreibt man hier anstelle von “log_e” nur den Ausdruck “ln”.
• Binärer Logarithmus (oder Zweierlogarithmus): Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl). In der Regel schreibt man hier anstelle von “log₂” nur den Ausdruck “ld”.

Will man Logarithmen verschiedener Basiswerte ineinander umrechnen, gilt folgende Beziehung:

Damit kann jeder Logarithmus auf eine beliebige Basis umgerechnet werden.

Rechenregel für das Rechnen mit dem Logarithmus

Es gilt folgende Rechenregel für das Rechnen mit dem Logarithmus:

log_a (uⁿ) = n·log_a(u)