Löseverfahren mithilfe der quadratischen Ergänzung

Mithilfe der quadratischen Ergänzung lassen sich Nullstellen bei einer quadratischen Gleichung ermitteln. Dabei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass diese Gleichung mithilfe einer binomischen Formel wiedergegeben werden kann.

Warum ist eine quadratische Gleichung so wichtig?

Einige Lösungen zu naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen sich nur über die quadratische Gleichung lösen. Beispielsweise die Berechnung der H₃O⁺-Konzentration einer starken Säure in hoher Verdünnung (wässrige Lösung).

Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung wird eine quadratische Gleichung so umgeformt, dass eine Gleichung entsteht, auf die die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Nachfolgend soll das Verfahren der quadratischen Ergänzung vorgestellt werden (dazu ist es aber notwendig, dass man die 1. und 2. Binomische Formel kennt):

• Falls die Gleichung vor dem x² ein Faktor steht, muss dieser Faktor ausgeklammert werden, z.B. aus 2x²  +  4x   + 20 wird 2(x² + 2x + 10).
• Anschließend muss entschieden werden, welche Binomische Formel verwendet werden muss, (a + b)² = a² + 2ab + b² oder (a – b)² = a² -2ab + b². Dazu wird das Vorzeichen vor dem “x”-Glied betrachtet, ist dort ein Minus, muss die 2. Binomische Formel verwendet werden.
• Nun wird die gegebene Gleichung in eine Binomische Formel umgewandelt.