Lösung einer Gleichung mit einer Variablen (Äquivalenzumformung)

Wie schon der Begriff “Gleichung mit einer Variablen” verdeutlicht, soll eine Gleichung mit einer Unbekannten (Variablen) gelöst werden. Diese Unbekannte wird meistens “x” genannt und Ziel ist es nun, für x eine Zahl zu erhalten. Im folgenden wird nur ein lineares Gleichungssystem mit einer Variablen betrachtet (dieses Lösungsverfahren heißt Äquivalenzumformung).

Beispiel

Alleine schon an diesem Beispiel merkt man, dass Gleichungssystem mit Unbekannten in der Natur ziemlich oft vorkommen. Man möchte einen bestimmten pH-Wert eines Systems einstellen (Anzahl an H⁺-Ionen). Beispiel: Man hat 100 H+-Ionen in einem Reaktionsgefäß und möchte durch Zugabe weiterer H⁺-Ionen (Anzahl x) erreichen, dass man insgesamt 1.000 H⁺-Ionen im Reaktionsgefäß hat.

100·H⁺  +   x·H⁺ = 1.000·H⁺

Lassen wir nun einmal die “Chemie” beiseite und beschäftigen und nur mit der Mathematik, dann erhalten wir folgendes Gleichungssystem: 100 + x = 1.000.

Zum Lösen der Gleichung, muss diese nach x aufgelöst wird. Um dies durchzuführen, müssen sogenannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Diese Gleichung wird nun so umgeformt, dass “x” auf der einen Seite der Gleichung steht und eine Zahl bzw. mehrere Zahlen auf der anderen Seite stehen (Wichtig: Auf jeder Seite der Gleichung muss der gleiche Wert addiert bzw. subtrahiert werden). Dazu müssen wir hier im Beispiel auf jeder Seite 100 Abziehen. Dann erhalten wir: 100 + x – 100 = 1.000 – 100. Als Lösung erhalten wir x = 900. Nun wüssten wir also, dass wir 900 H⁺-Ionen hinzufügen müssten.

Hat man eine Gleichung aber nicht in Form einer Addition oder Subtraktion vorliegen, sondern eine Multiplikation oder Division muss man ein ähnliches Prinzip anwenden.

Bei der obigen (Additions)Gleichung mussten wir mit “-100” auf beiden Seiten erweitern, um die +100 auf der rechten Seite zu entfernen. Bei einer Multiplikation funktioniert das ähnlich, will ich beispielsweise ein “2·” entfernen, muss ich beide Seiten mit “:2” erweitern.

Beispiel: 2·x = 6, nun wird auf beiden Seiten mit “:2” erweitert, dann erhält man schließlich 2·x:2 = 6:2 und man erhält als Ergebnis x = 3.

Weitere Beispiele

5·x = 10  um die “5·” wegzubekommen, teilen wir beide Seiten durch 5 und erhalten x = 2

Man kann aber auch beide Varianten miteinander kombinieren:
5·x + 2 = 12  um erst einmal die “+2” auf der rechten Seite zu entfernen, erweitern wir beide Seiten mit “-2”) dann erhalten wir 5·x = 10 und können anschließen die “5·” entfernen, indem wir beide Seiten durch 5 teilen und erhalten als Ergebnis x = 2.

Zu Beachten

Grundsätzlich gilt (sofern in dem Gleichungssystem eine Klammersetzung erfolgt):  Klammer vor allen anderen Rechenoperationen, Hochzahlen bzw. Potenzen (“²” oder “³” u.s.w ) sind höherrangig als Punktzeichen (“·” Multiplikation bzw “:” Division) und diese wiederum haben einen Vorrang gegenüber Punktzeichen.

Wichtig

• Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung.
• Ebenfalls ist das Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit Null keine Äquivalenzumformung, sondern erzeugt nur die mathematische Aussage 0 = 0

Lösung einer Gleichung mit einer Variablen (Äquivalenzumformung) – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die allgemeine Bedeutung des Begriffs “Äquivalenzumformung”?

Die Äquivalenzumformung ist ein Prozess, bei dem beide Seiten einer Gleichung gleichzeitig verändert werden, um die Gleichung in eine einfachere oder bequemere Form zu bringen und dabei ihre Lösungen beizubehalten.

2. Wie lösen Sie eine lineare Gleichung mit einer Variablen mithilfe der Äquivalenzumformung?

Eine lineare Gleichung wird mithilfe der Äquivalenzumformung gelöst, indem man sie isoliert. Dazu muss man zuerst alle Terme mit der Variablen auf eine Seite der Gleichung und die Konstanten auf die andere Seite bringen.

3. Was ist der Ausdruck “Isolieren der Variable” in der Lösung der linearen Gleichung?

“Isolieren der Variable” bedeutet, die Variable auf einer Seite der Gleichung allein zu haben, während alle anderen Zahlen auf der anderen Seite sind.

4. Wie verändert sich das Vorzeichen eines Terms, wenn er auf einer anderen Seite der Gleichung platziert ist?

Wenn ein Term von einer Seite der Gleichung auf die andere bewegt wird, ändert sich das Vorzeichen des Terms in das Gegenteil.

5. Was passiert mit einer Gleichung, wenn beide Seiten mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert werden?

Wenn beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, bleibt die Gleichung gleichwertig, das heißt, ihre Lösungen ändern sich nicht.

6. Wie behandelt man Brüche in einer Gleichung beim Lösen?

Das Ziel ist es, die Gleichung von Brüchen zu befreien. Man kann das erreichen, indem man beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner aller Brüche in der Gleichung multipliziert.

7. Was ist die Basisregel beim Lösen von Gleichungen?

Die Basissregel beim Lösen von Gleichungen besagt, dass das, was auf der einen Seite der Gleichung gemacht wird, auch auf der anderen Seite durchgeführt werden muss, um die Gleichung auszugleichen.

8. Wie gehen Sie vor, um eine Gleichung mit einer Variablen auf beide Seiten zu lösen?

Um eine Gleichung zu lösen, die auf beiden Seiten eine Variable hat, versucht man, eine Seite so zu transformieren, dass sie die Form der anderen Seite annimmt. Alle Operationen sollten gleichzeitig auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

9. Was ist das Ziel beim Lösen einer linearen Gleichung mit einer Variablen?

Das Ziel ist es, den Wert der Unbekannten zu finden, der dazu führt, dass beide Seiten der Gleichung das gleiche Ergebnis liefern.

10. Wie kann man überprüfen, ob die gefundene Lösung korrekt ist?

Man kann die Lösung überprüfen, indem man sie für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Wenn beide Seiten der Gleichung das gleiche Ergebnis ergeben, ist die Lösung korrekt.