Gleichungen - Einführung
Allgemein:
Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines
der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den
anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei "mathematische
Aussagen", die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine
Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage
gilt (Gleichung allgemein).
Gleichungen - Eine Einführung:
Prinzipiell besteht eine Gleichung aus zwei "Seiten", einer linken
und einer rechten Seite. Diese beiden Seiten werden durch ein "=
(ist gleich)" bei Gleichungen und " > oder < (größer
oder kleiner)" bei Ungleichungen verknüpft, eine Gleichung verknüpft
also mathematisch zwei Seiten:
z.B. 5 + 3 = 8.
Es handelt sich hier um eine ganz einfache Gleichung. Das "ist-gleich"-Zeichen
verknüpft die beiden Seiten und lässt so mathematisch eine wahre
Behauptung entstehen, denn 8 = 8. Zusammengefasst ist eine Gleichung eine
Behauptung, dass zwei Terme, gleich sind.
Die allermeisten Gleichungen sind ein wenig komplizierter, denn sie
enthalten noch eine (oder mehrere) Variable(n). Ziel dieses Gleichungssystems
ist es, eine Lösung für die Variable zu finden, so dass die Gleichung
richtig ist, d.h. es gibt bei Gleichungen mit einer Variable eine "richtige"
und eine "falsche" Behauptung".
z.B. 5 + x = 8
Es handelt sich hier um eine Gleichung mit einer Variablen (meistens
wird die Variable mit x bezeichnet, kann aber jederzeit auch anders lauten).
Setzt man z.B. für "x" den Wert 2 ein, so lautet die Gleichung 5 +
2 = 8, also 7 = 8 und erhält damit eine falsche Behauptung. Setzt
man für "x" den Wert 3 ein, so lautet die Gleichung 5 + 3 = 8, also
8 = 8 und damit liegt eine wahre Behauptung vor.
Mit dem Begriff "Gleichung" sind die Begriffe "Definitionsmenge D" und
"Lösungsmenge L" verbunden:
-
Definitionsmenge: alle Elemente, die für die Variable in die
Gleichung eingesetzt werden dürfen, z.B. alle reellen Zahlen, alle
positiven Zahlen, u.s.w
-
Lösungsmenge: alle Elemente der Definitionsmenge, damit die
Gleichung eine wahre Aussage ist
Unterschied Gleichung - Funktion:
Für eine Gleichung (mit einer Variable) gibt es eine Lösungsmenge,
für eine Funktion können unendlich viele x-Werte eingesetzt werden
und man erhält jeweils einen y-Wert als Lösung, die Funktion
beschreibt also einen Graphen im Koordinatensystem.
Der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Funktion ist also
der, dass bei der Funktion einer Variablen (z.B. x) der Wert einer anderen
Variablen (z.B y) zugeordnet wird (sie gibt also einen Zusammenhang an).
Eine Gleichung hingegen ist eine Aussage, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen
das gleiche steht (die Gleichung gibt also einen Inhalt einer Lösungsmenge
an).
z.B. 8 = 5 + x (Gleichung)
z.B. y = 5 + x (Funktion)
Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide
Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich
8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an.
Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den
Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung),
aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt,
so wird z.B. bei x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet.
bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet.
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