Beim Lösen von Gleichungssystemen fällt oft das Wort “Determinante”. Dies nicht ohne Grund, denn die Determinante wird vor allem zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet. So hat jedes lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A (die dem Gleichungssystem als Matrix zugrunde liegt) ungleich Null ist, mathematisch ausgedrückt det A≠0. Wie die Übersetzung des Begriffes Determinante (= die Bestimmende) handelt es sich bei der Determinante um eine Zahl, die einer Matrix zugeordnet ist.
Am Anfang ist es wichtig, eine Matrix von einer Determinante zu unterschreiben, denn beide Schreibweisen sind ähnlich. Im Grunde unterscheidet sich eine Determinante nur durch gerade Striche von einer Matrix. Um eine Determinante einer Matrix zu beschreiben, werden zwei Schreibweisen verweisen. Einerseits wird ein “det” vor der Matrix geschrieben (die Matrix steht in Klammer). Andererseits wird auch eine Determinante so formuliert, dass Klammern der Matrix durch gerade Striche ersetzt werden (Schreibweise für die Determinante der Matrix A: det (A) oder |A|.
Je nach Art der Matrix, die der Determinante zugrunde liegt, existieren viele verschiedene Arten die Determinante zu bestimmen. Die bekanntesten Rechenoperationen zur Bestimmung einer Determinanten einer Matrix ist die Regel von Sarrus und für komplizierter Matrizen der Laplaceschen Entwicklungssatz.
Im Rahmen des Schul-Mathematikunterrichts werden in der Regel nur Determinanten einer sogenannten (2,2)-Matrix bestimmt. Für die Bestimmung der Determinante einer (2,2)-Matrix (=> zweireihige Determinante) existiert eine einfache Regel. Man nimmt die quadratische Matrix und bildet zuerst das Produkt der Elemente oben links und unten rechts (man multipliziert die Diagonale). Anschließend wird von diesem Wert das Produkt der Elemente “oben rechts und unten links” abgezogen (=> siehe nachfolgende Abbildung).
Im Umgang mit Determinanten gibt es einige Rechenregeln, die helfen:
Die Determinante ist eine spezielle Zahl, die quadratischen Matrizen zugeordnet wird. Sie hat viele Anwendungen in den verschiedenen Bereichen der linearen Algebra, wie beispielsweise bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen.
Eine zweireihige Determinante setzt sich aus vier Elementen zusammen, die in zwei Zeilen und zwei Spalten angeordnet sind.
Die Determinante einer 2×2 Matrix berechnet sich nach folgender Formel: a*d – b*c, wobei a, b, c und d die Elemente der Matrix sind.
Mit Hilfe der Determinante kann unter anderem geprüft werden, ob ein lineares Gleichungssystem unique Lösungen hat oder ob eine Matrix invertierbar ist.
Wenn die Determinante einer Matrix gleich Null ist, dann besitzt diese Matrix keine Inverse und das zugehörige lineare Gleichungssystem hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Wenn zwei Zeilen in einer Matrix vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
Ja, wenn eine Zeile oder Spalte in einer Matrix mit einem Skalar multipliziert wird, dann wird auch die Determinante mit diesem Skalar multipliziert.
Die Berechnung der Determinante einer 3×3 Matrix erfolgt über die sogenannte Sarrus’sche Regel oder durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
Die Cramersche Regel ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, das auf der Berechnung von Determinanten basiert.
Die Determinante einer Matrix kann als Skalierungsfaktor interpretiert werden, der den Flächen- bzw. Rauminhalt eines durch die Zeilen- oder Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms bzw. Parallelepipeds angibt.