Determinante berechnen (=> Zweireihige Determinante)

Beim Lösen von Gleichungssystemen fällt oft das Wort „Determinante“. Dies nicht ohne Grund, denn die Determinante wird vor allem zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet. So hat jedes lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A (die dem Gleichungssystem als Matrix zugrunde liegt) ungleich Null ist, mathematisch ausgedrückt det A≠0. Wie die Übersetzung des Begriffes Determinante (= die Bestimmende) handelt es sich bei der Determinante um eine Zahl, die einer Matrix zugeordnet ist.

Determinante berechnen

Am Anfang ist es wichtig, eine Matrix von einer Determinante zu unterschreiben, denn beide Schreibweisen sind ähnlich. Im Grunde unterscheidet sich eine Determinante nur durch gerade Striche von einer Matrix. Um eine Determinante einer Matrix zu beschreiben, werden zwei Schreibweisen verweisen. Einerseits wird ein „det“ vor der Matrix geschrieben (die Matrix steht in Klammer). Andererseits wird auch eine Determinante so formuliert, dass Klammern der Matrix durch gerade Striche ersetzt werden (Schreibweise für die Determinante der Matrix A: det (A) oder |A|.

Je nach Art der Matrix, die der Determinante zugrunde liegt, existieren viele verschiedene Arten die Determinante zu bestimmen. Die bekanntesten Rechenoperationen zur Bestimmung einer Determinanten einer Matrix ist die Regel von Sarrus und für komplizierter Matrizen der Laplaceschen Entwicklungssatz.

Im Rahmen des Schul-Mathematikunterrichts werden in der Regel nur Determinanten einer sogenannten (2,2)-Matrix bestimmt. Für die Bestimmung der Determinante einer (2,2)-Matrix  (=> zweireihige Determinante) existiert eine einfache Regel. Man nimmt die quadratische Matrix und bildet zuerst das Produkt der Elemente oben links und unten rechts (man multipliziert die Diagonale). Anschließend wird von diesem Wert das Produkt der Elemente „oben rechts und unten links“ abgezogen (=> siehe nachfolgende Abbildung).

Determinante berechnen

Rechenregeln im Umgang mit Determinanten

Im Umgang mit Determinanten gibt es einige Rechenregeln, die helfen:

  • Enthält eine Zeile der Matrix nur Nullen, so ist der Wert der Determinante gleich null
  • Der Wert der Determinante ist ebenso Null, wenn beide Zeilen der Matrix gleich sind
  • Vertauscht man zwei Zeilen der Matrix miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante
  • Liegt in allen Elementen ein gemeinsames kleinstes gemeinsames Vielfache vor, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden und vor die Determinante geschrieben werden (die Zahlen in der Matrix müssen beim Ausklammern angepasst werden)