Die pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form x² + px + q = 0 schreiben lässt. Um diese Gleichung zu Lösen gibt es eine Lösungsformel, die auch als pq-Formel bekannt ist. Mit Hilfe der pq-Formel kann man eine quadratische Gleichung lösen, die in allgemeiner Form gegeben ist.

Die pq-Formel

Wie eingangs erwähnt, wird die pq-Formel immer dann verwendet, wenn eine quadratische Gleichung der Form x² + px + q = 0  vorliegt. Die pq-Formel zur Lösung einer solchen quadratischen Gleichung lautet:

Der erste Schritt zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit Hilfe der pq-Formel ist immer, die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 zu überführen. Anschließend werden die Variablen “p” und “q” bestimmt und in die pq-Formel eingesetzt.

Hinweise zum Umgang mit der pq-Formel:

• In der Regel gelten in der Schule die Menge der reellen Zahlen, daher kann unter der Wurzel der pq-Formel keine negative Zahl stehen. Sollte dennoch ein negativer Wert unter der Wurzel stehen, da hat die pq-Formel kein Ergebnis. Dies bedeutet, dass die quadratische Gleichung keine Lösung hat (was auch durchaus vorkommen kann).
• Die pq-Formel zeigt, dass es für Gleichungen der Form x² + px + q = 0  nur maximal zwei Lösungen gibt.
• Liegt eine Gleichung nicht in der Form x² + px + q = 0 vor, so muss sie in diese umgewandelt werden. Die passende Form für die pq-Formel erhält man, indem man die Gleichung durch den Koeffizienten vor dem x² teilt.
• Die Herleitung der pq-Formel erfolgt über die quadratische Ergänzung und die binomischen Formeln. x² + px + q = 0 => x² + px + (p/2)² – (p/2)² +q = 0 => x² + px + (p/2)² = (p/2)² – q  => (x + [p/2])² = (p/2)² – q  => Wurzel ziehen und [p/2] von der linken auf die rechte Seite bringen.