Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).
Nachfolgend werden einige Lösungsverfahren für Gleichungssysteme (bzw. Ungleichungen) vorgestellt, die in den nächsten Kapiteln ausführlich erläutert werden.
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen.
Nachfolgend sind die wichtigsten Lösungsverfahren aufgelistet:
Ein Gleichungssystem ist eine Sammlung von Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen.
Zu den Haupttypen von Gleichungssystemen gehören lineare Gleichungssysteme und nichtlineare Gleichungssysteme.
Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der die Gleichungen addiert oder subtrahiert werden, um eine oder mehrere Unbekannte zu eliminieren.
Das Substitutionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst und dann in die andere Gleichung eingesetzt wird.
Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der beide Gleichungen nach derselben Variable umgestellt und dann gleichgesetzt werden.
Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen in eine Variable umgestellt und der erhaltene Ausdruck in die zweite Gleichung eingesetzt.
Das Matrizenverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der die Koeffizienten der Gleichungen in einer Matrix angeordnet werden und dann bestimmte Rechenoperationen durchgeführt werden.
Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn es keinen Satz von Zahlen gibt, der alle Gleichungen des Systems erfüllt.
Ein Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn es eine unendliche Anzahl von Zahlenkombinationen gibt, die alle Gleichungen des Systems erfüllen.
Im Normalfall hat ein Gleichungssystem entweder eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Es kann nicht mehr als eine eindeutige Lösung haben.