Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).
Nachfolgend werden einige Lösungsverfahren für Gleichungssysteme (bzw. Ungleichungen) vorgestellt, die in den nächsten Kapiteln ausführlich erläutert werden.
Lösungsverfahren von Gleichungssystemen
Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen.
Auflistung der wichtigsten Verfahren
Nachfolgend sind die wichtigsten Lösungsverfahren aufgelistet:
- Äquivalenzumformung (für eine Variable, lineares Gleichungssystem): Die Äquivalenzumformung einer Gleichung besteht darin, die linke und die rechte Seite der Gleichung auf gleiche Weise abzuändern, so dass auf der einen Seite die Variable steht und auf der anderen Seite ein Wert.
- Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer der Variablen (z.B. x) aufgelöst. Das Ergebnis wird in eine andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung wird wieder nach der anderen Variablen aufgelöst. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Variablen gelöst sind.
- Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) wird durch Addition zweier Gleichungen eine Variable heraus gekürzt und kann so nach der anderen Variablen lösen.
- Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem): Das Gauß-Verfahren besteht aus einer mehrfachen Wiederholung des Additionsverfahrens.
- Quadratische Ergänzung (für eine Variable, quadratisches Gleichungssystem): Dabei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass diese Gleichung mithilfe einer binomischen Formel wiedergegeben werden kann.
