Gleichung und Ungleichung – Einführung

Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein). Dabei begegnen uns immer wieder die Begriffe “Gleichungen” und “Ungleichungen”. Damit das Lösen dieser Gleichungssysteme möglich ist, sollte man sich im ersten Schritt einmal mit den beiden Begriffen vertraut machen.

Gleichung und Ungleichung

Wie bereits in der Einleitung beschrieben haben Gleichung und Ungleichung einiges gemeinsam:

• Jeweils werden zwei mathematische Terme in Relation zueinander gesetzt (z.B. 5 + x = 3)
• Sowohl die Gleichung als auch die Ungleichung enthält mind. 1 (unbekannte) Variable (meist als “x” bezeichnet), das Ziel ist nun eine Lösungsmenge zu finden, damit die “Aussage” der Gleichung bzw. Ungleichung wahr ist, d.h. die Gleichung oder Ungleichung so zu lösen, dass man anstelle der Variablen eine Zahl einsetzen kann, sodass eine wahre Aussage entsteht.

Der Unterschied zwischen Gleichung und Ungleichung ist, dass bei einer Ungleichung zwei Terme nicht gleich sind (wie bei der Gleichung), sondern dass ein Term größer oder kleiner (oder größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Term ist.

• 5 + x = 3   (Gleichung, da behauptet wird, dass beide Terme gleich sind)
• 5 + x > 3   (Ungleichung, da behauptet wird, dass ein Term [5 + x] größer als der andere Term ist)

Daraus folgt, dass eine Ungleichung im Vergleich zu Gleichungen in der Regel nicht nur eine (oder wenige), sondern viele (teilweise unendlich viele!) Lösungen besitzt. Das bedeutet aber auch, dass die Regeln zum Umformen von Ungleichungen (Äquivalenzumformungen) komplizierter sind als die Regeln zum Lösen von Gleichungen, da manchmal bei Ungleichungen Fallunterscheidungen notwendig sind.

Arten von Gleichungen bzw. Ungleichungen

Immer wieder tauchen die Begriffe “linear” und “quadratisch” in Zusammenhang mit Gleichungen und Ungleichungen auf. Diese beiden Begriffe sollen nun nachfolgend näher untersucht werden. Im Prinzip kann man sich dies ganz einfach merken, linear bzw. quadratisch gibt die Potenz an, mit der die Variable in der Gleichung vorkommt:

• Eine Gleichung der Form a· x + b = 0 heißt allgemein lineare Gleichung (dies kommt daher, dass die Variable “x” in der ersten Potenz vorkommt, also x¹). Die lineare Gleichung hat nur eine Lösung x = (-b:a). Eine lineare Ungleichung entspricht a· x + b < 0 (bzw. > = 0) und besitzt dadurch mehr als eine Lösung
• Eine Gleichung a· x² + b· x + c = 0 heißt allgemein quadratische Gleichung (dies kommt daher, dass die Variable “x” in der zweiten Potenz vorkommt, also x²).
• Daneben gibt es noch (Un)Gleichung dritter Ordnung, Bruch(un)gleichung und Wurzel(un)gleichungen