Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein). Dabei begegnen uns immer wieder die Begriffe “Gleichungen” und “Ungleichungen”. Damit das Lösen dieser Gleichungssysteme möglich ist, sollte man sich im ersten Schritt einmal mit den beiden Begriffen vertraut machen.
Wie bereits in der Einleitung beschrieben haben Gleichung und Ungleichung einiges gemeinsam:
Der Unterschied zwischen Gleichung und Ungleichung ist, dass bei einer Ungleichung zwei Terme nicht gleich sind (wie bei der Gleichung), sondern dass ein Term größer oder kleiner (oder größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Term ist.
Daraus folgt, dass eine Ungleichung im Vergleich zu Gleichungen in der Regel nicht nur eine (oder wenige), sondern viele (teilweise unendlich viele!) Lösungen besitzt. Das bedeutet aber auch, dass die Regeln zum Umformen von Ungleichungen (Äquivalenzumformungen) komplizierter sind als die Regeln zum Lösen von Gleichungen, da manchmal bei Ungleichungen Fallunterscheidungen notwendig sind.
Immer wieder tauchen die Begriffe “linear” und “quadratisch” in Zusammenhang mit Gleichungen und Ungleichungen auf. Diese beiden Begriffe sollen nun nachfolgend näher untersucht werden. Im Prinzip kann man sich dies ganz einfach merken, linear bzw. quadratisch gibt die Potenz an, mit der die Variable in der Gleichung vorkommt:
Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Ausdrücke den gleichen Wert haben.
In einer Gleichung können ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen und Variable verwendet werden.
Man löst eine Gleichung, indem man die Variable isoliert, d.h. man bekommt die Variable alleine auf einer Seite der Gleichung.
Das Symbol ‘=’ in einer Gleichung bedeutet ‘ist gleich‘ oder ‘entspricht‘.
Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Ausdrücke nicht gleich sind.
In Ungleichungen werden die Symbole <, >, ≤ und ≥, die ‘kleiner als‘, ‘größer als‘, ‘kleiner oder gleich‘ und ‘größer oder gleich‘ bedeuten, verwendet.
Man kann die Lösung einer Ungleichung überprüfen, indem man die gefundene Lösung in die ursprüngliche Ungleichung einsetzt und überprüft, ob die Ungleichheit wahr ist.
Ja, eine Ungleichung kann mehrere oder sogar eine unendliche Anzahl von Lösungen haben.
Wenn man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Ja, Ungleichungen können auf einer Zahlenebene oder in einem Koordinatensystem dargestellt werden.