Das 2. Keplersche Planetengesetz

Wie jede Bewegung folgt auch die Bewegung der Erde (die um die Sonne kreist) physikalischen Gesetzen. Diese zugehörigen (drei) physikalischen Gesetze wurden vom Johannes Kepler formuliert.

Das 2. Keplergesetz (auch als Flächensatz bezeichnet) beschreibt dabei die Bewegung der Planeten auf ihrer Bahn. Dabei zeigt das 2. Keplersche Gesetz, dass die Geschwindigkeit der Planeten nicht gleichmäßig ist (während der Umkreisung der Sonne). Das 2. Keplersche Gesetz zeigt aber, dass während einer Umkreisung der Radiusvektor in gleichen Zeiträumen gleiche Flächenstücke der ellipsenförmigen Kreisbahn überstreicht.

Das 2. Keplersche Planetengesetz

Wie bereits erwähnt, bewegen sich die Planeten auf ihrer ellipsenförmigen Kreisbahn nicht mit gleicher Geschwindigkeit. Das 2. Keplersche Gesetz besagt, dass die Flächen, die vom Radiusvektor in gleicher Zeit überstrichen werden, gleich sind.

zweite Keplersche Gesetz

Aus dem zweiten Keplerschen Gesetz folgt, das sich die Erde bzw. alle Planeten im Sonnensystem auf ihrer Kreisbahn mit unterschiedlichen (Bahn)Geschwindigkeiten bewegen. Im Sommer auf der Nordhalbkugel ist Sonne weiter entfernt, als im Winter. Da die Bahngeschwindigkeit in Sonnennähe schneller als in Sonnenferne hat die Erde unterschiedliche Geschwindigkeiten, mit denen sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegt. Die Geschwindigkeiten beträgt 29,3 km/s im Sommer auf der Nordhalbkugel (im Juni, größte Entfernung zur Sonne, rechte Seite der Abbildung t3 bis t4) und 30,3 km/s im Winter auf der Nordhalbkugel (im Januar, geringste Entfernung zur Sonne)

Aus dem 2. Keplerschen Gesetz folgt, dass sich die Erde (bzw. alle anderen Planeten) in Sonnennähe (auch als Perihel bezeichnet) schneller bewegt als in Sonnenferne (auch als Aphel bezeichnet).

Beweis des 2. Keplerschen Gesetzes:

Können wir mathematisch beweisen, dass das 2. Keplersche Gesetz richtig ist?
Nein, wír können aber beweisen, dass wenn die Erde auf der Kreisbahn innerhalb des gleichen Zeitraumes gleiche Flächen überstreicht, die Erde auf der Kreisbahn unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten aufweist.

Nun wollen wir das 2. Keplersche Gesetz untersuchen, dazu betrachten wir, wie der Radiusvektor innerhalb eines Zeitraumes (t2 – t1) die Fläche2 überstreicht. Innerhalb dieses Zeitraumes (von t1 zu t2) bewegt sich die Erde auf der Kreisbahn weiter.

Herleitung zweites Keplersches Gesetz

Die Strecke auf der Kreisbahn, die die Erde innerhalb eines Zeitraumes zurücklegt, ist v ·(t2 – t1). Die Fläche des Dreiecks (rechte Abbildung) lässt sich (mathematisch) berechnen mit: Fläche = 0,5 · d ·r(2). Die Strecke d lässt sich mit Hilfe der Trigonometrie ermitteln: d = sin (alpha) ·  v ·(t2 – t1)

Damit erhält man:  Fläche = 0,5 ·sin (alpha) ·  v ·(t2 – t1)  ·r2
Laut 2. Keplerschem Gesetz ist Zeitraum, der betrachtet wird (z.b. t2-t1) immer gleich ist und die überstrichene Fläche immer gleich. Daher kann man mit Hilfe der Formel ableiten, dass die Bahngeschwindigkeit sich ändern muss, damit die in einem bestimmten Zeitraum überstrichene Fläche immer gleich ist. Mit Hilfe der Formel zeigt sich, dass bei kleinem Radiusvektor r, die Bahngeschwindigkeit größer sein muss, als bei großem Radiusvektor r, bei dem die Bahngeschwindigkeit im Vergleich kleiner ist.

Beiweisen, dass bei einer Umlaufbahn eines Planeten vom Radiusvektor in gleicher Zeit die gleiche Fläche überstrichen wird, lässt sich durch die Drehimpulserhaltung erreichen. Dies ist aber nicht mehr Inhalt des entsprechenden Lehrplanes