Trigonometrische Bestimmungen in der Astronomie – Bestimmung der Entfernung von Sternen

In unserem Sonnensystem gibt es eine Vielzahl astronomischer Körper, u.a. Planeten und Sterne (wie auch unsere Sonne). Aufgrund der großen Entfernung und der unterschiedlichen Größer der Objekte, ist es unmöglich mit bloßen Auge (auf der Erde) zu erkennen, wie weit das kosmische Objekt vom Betrachter entfernt ist.

Im Rahmen des Schulunterrichts verwendet man zwei Methoden, die eine Methode ist die Anwendung des 3. Keplerschen Gesetzes, um die Entfernung eines Planeten zu bestimmen. Die andere Methode ist die sogenannte trigonometrische Parallaxenmessung, wobei die Entfernung eines Sternes bestimmt wird.

In diesem Kapitel wird die trigonometrische Entfernungsbestimmung von Sternen vorgestellt. Die Anwendung des 3. Keplerschen Gesetzes zur Bestimmung einer Planetenentfernung findet sich

siehe Kapitel: 3. Keplersches Gesetz

Bestimmung der Entfernung der Sterne zu der Erde

Mit Hilfe der sogenannten trigonometrischen Parallaxenmessung wird die Entfernung der Erde zu einem Stern bestimmt. Diese Methode beruht auf den mathematischen Prinzipien der Trigonometrie. Mit Hilfe der sogenannten trigonometrischen Parallaxenmessung wird die Entfernung der Erde zu einem Stern bestimmt. Für ein Dreieck benötigen wir 3 Dreieckspunkte. Da wir die Entfernung von der Erde zu einem Stern bestimmen wollen, kann die Sonne kein Eckpunkt des Dreiecks sein.

Da die Erde innerhalb eines Jahres die Sonne umkreist, können wir denselben Stern aus zwei verschiedenen Positionen beobachten und daraus jeweils den Winkel bestimmen, mit dem der Stern beobachtet wird. Dabei schließt der “Blick” des Beobachters zum Stern ein Winkel (Alpha bzw. Beta in der Abbildung) ein, der umso kleiner ist, je weiter der Stern von der Erde entfernt ist. Diese beiden Winkel können wir mit Hilfe von Messgeräten bestimmen.

 

Trigonometrische Parallaxe

Mit Hilfe der Trigonometrie können wir nun auch den Winkel Gamma bestimmen, für diesen gilt: Gamma = 180° – Alpha – Beta. Die Winkel Alfa und Beta sind nicht (genau) gleich groß. Dies ist die Folge der Erdbewegung, wodurch sich die Sterne im Laufe eines Jahres ellipsenförmig am Himmel bewegen. Die Verschiebung, die wir messen, erlaubt uns die Berechnung der Entfernung des Sterns mit Hilfe der Trigonometrie.

Für die weiteren Berechnungen benötigen wir die trigonometrische Parallaxe p, diese ist der halbe Winkel (und zwar in Bogensekunden: 1″ = 1 : 3600°) zwischen den “Blicken” des Beobachters von zwei gegenüberliegenden Punkten der Erde zum Stern. Eine weitere Größe können wir direkt aus dem Dreieck ablesen, die Basislinie des Dreiecks. Diese Basislinie entspricht zweimal der Erde-Sonne-Entfernung (ca. 300 Millionen Kilometer, diese Größe ist für die weitere Berechnung nicht mehr nötig, zeigt aber, warum bei astronomischen Berechnungen eine andere Größe für Entfernungen verwendet wird).

Da die Entfernung zu den Sternen mind. mehrere 100 Millionen Kilometer beträgt, hat man eine Einheit die viele vom Hören kennen: Das Parsec (Abkürzung pc).  Ein Parsec (1 pc) ist dabei die Entfernung, bei der der Abstand Erde-Sonne unter einem Winkel p (trigonometrische Parallaxe) von einer Bogensekunde erscheint.

Formel zur Berechnung des Abstandes Erde-Stern

Nun wollen wir aber endlich die Formel zur Berechnung des Abstandes Erde-Stern kennenlernen, mit Hilfe der trigonometrischen Parallaxe p.

 

trigonometrische Parallaxe


Die Formel lautet:

 

Formel trig. Parallaxe


Die Formel ermöglicht uns einen Zusammenhang zwischen der trigonometrischen Parallaxe p eines Sterns und seiner Entfernung r. Durch die reziproke Beziehung beider Größen gilt: Je größer die Entfernung eines Sterns ist, umso kleiner ist seine trigonometrische Parallaxe. Die Entfernung r in Parsec und die Parallaxe p eines Sternes verhalten sich also umgekehrt proportional.

Rechnen wir dazu ein Beispiel:

Dazu nehmen wir den Stern, der uns am nächsten ist. Bei diesem Stern handelt es sich um “Proxima Centrauri”. Messen wir nun innerhalb eines Jahres zweimal den Winkel, unter dem wir den Stern sehen. Mit Hilfe trigonometrischer Berechnungen erhalten wir für den Winkel Gamma einen Wert von 1,536 (aufgrund der großen Entfernung r ist der Winkel Gamma relativ klein).

Hieraus bestimmen wir eine Parallaxe p = 0,768″ Setzen wird diesen Wert in die Formel ein, so erhalten wir eine Entfernung Erde – Proxima Centauri von 1,302 pc. Rechnen wir das nun in bekannte “Größen”, so entspricht dies einer Entfernung von  4,247 Lichtjahren.(1 pc = 3,262 Lichtjahre). Rechnen wird das in Kilometer um, so erhalten wir eine Entfernung von 40,18 · 1012 km (1 Lichtjahr = 9,461 · 1012 km). Dies entspricht einer Entfernung von 40.180 Milliarden Kilometer.

Wenn wir in Tabellenwerken nachsehen, erhalten wir eine Entfernung Erde – Proxima Centauri von 4,234 Lichtjahren. Dies zeigt auch, wie gut die Entfernungsbestimmung mit Hilfe der trigonometrischen Parallaxe von Sternen möglich ist. Eine Bestimmung der  trigonometrischen Parallaxe lässt sich heute bis auf 0,01″ genau bestimmen.

Entfernumgsmessung bei “weit entfernten” Sternen

Diese Methode der trigonometrischen Parallaxe ist für Sternentfernungen von bis zu 100 pc geeignet. Für weiter entfernte Sterne muss eine andere Messmethode herangezogen werden. So gibt es die Möglichkeit, die Entfernung zu einem Stern aus der absoluten und scheinbaren Helligkeit eines Sternes zu bestimmen.

Die Anwendung der absoluten und scheinbaren Helligkeit und wie man daraus die Entfernung Erde – Stern bestimmen kann, findet sich in folgendem Kapitel.

siehe Kapitel: Helligkeit von Sternen

 

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