Das 3. Keplersche Planetengesetz

Wie jede Bewegung folgt auch die Bewegung der Erde (die um die Sonne kreist) physikalischen Gesetzen. Diese zugehörigen (drei) physikalischen Gesetze wurden vom Johannes Kepler formuliert.Dabei beschäftigt sich das 3. Keplersche Gesetz mit Umlaufszeiten und Sonnenentfernung von Planeten in unserem Sonnensystem. Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten um die Sonne sich so verhalten wie die dritten Potenzen der mittleren Entfernungen der Planeten von der Sonne.

Das 3. Keplersche Planetengesetz

Wie bereits eingangs erwähnt, gibt das 3. Keplersche Gesetz den Zusammenhang zwischen der Größe der Kreisbahn eines Planeten und der Zeit für eine Umkreisung der Sonne wieder. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten um die Sonne verhalten sich so wie die dritten Potenzen der mittleren Entfernungen der Planeten von der Sonne:

Das 3. Keplersche Gesetze dient also dazu, die (relativen) Umlaufzeiten der Planeten und die Entfernung zur Sonne zu bestimmen. Mit Hilfe dieses Gesetzes kann also die Größe unseres Planetensystems (Entfernung Sonne-Planet) bestimmt werden.

Wie erwähnt, kann mit dem 3. Keplerschen Gesetz eine relative Entfernung bestimmt werden. Es ist nicht möglich, eine direkte Entfernung zu bestimmen. Das 3. Keplersche Gesetz heißt nicht, dass das Quadrat der Umlaufzeit der 3. Potenz der mittleren Entfernung eines Planeten zur Sonne entspricht (siehe Aufgaben weiter unten).

Beweis des 3. Keplerschen Gesetzes:

Für Planetenbewegung gelten die allgemeinen physikalischen Gesetze, so dass wir zum Beweis der Richtigkeit des 3. Keplerschen Gesetzes die
grundlegenden Newtonschen Gesetzen der Mechanik verwenden. Wie bereits beim Beweis der Gültigkeit des 2. Keplerschen Gesetzes basiert unser Beweis auf der Grundlage, dass ein Planet auf einer Kreisbahn um die Sonne kreist. Damit der Planet sich auf einer stabilen Kreisbahn bewegt, halten sich die Gravitationskraft und Zentripetalkraft im Gleichgewicht (beide Kräfte sind also betragsmäßig gleich).

Wie wir in unserem physikalischen Ansatz sehen, können wir die Masse der Erde auf beiden Seiten kürzen. Die Masse der Erde (oder eines anderen Planten) spielt daher keine Rolle.

Setzen wir die Formel für die Bahngeschwinigkeit ein

Erhalten wir damit folgende Gleichung

Nun formulieren wir die Gleichung etwas um

Allgemein: Der Quotient aus (zweiter Potenz der Umlaufdauer eines Planeten) und (dritter Potenz der mittleren Entfernung Planet Erde) ist konstant

Hinweis:  Wir haben die Gültigkeit des 3. Keplerschen Gesetzes bewiesen, indem wir die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft gleichgesetzt haben.
Dafür haben wir folgende “Fakten” angenommen:

• Die Masse der Sonne ist sehr groß gegenüber der Masse des Planeten
• Die Masse der Sonne ruht, d.h. die Sonne bewegt sich nicht, nur der Planet um die Sonne
• Der Planet umkreist die Sonne auf einer Kreisbahn (dies ist in der Realität nicht der Fall, die Abweichung der ellipsenförmigen Kreisbahn ist aber nicht so groß, dass die Ergebnisse aus dem 3. Keplerschen Gesetz falsch wären)

Aufgabe zur Anwendung des 3. Keplerschen Gesetzes:

Wir wollen nun ermitteln, wie lange der Mars benötigt, um die Sonne zu umkreisen.
Der mittlere Abstand von Mars und Sonne beträgt 1,52 AE (AE = astronomische Einheit, Info: der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne beträgt 1 AE)

Ansatz :  T_M² : T_E² = r_M³ : r_E³ = 1,52³ : 1³ = 1,52³

Lösung:   T_M² = 1,52³ · T_E² (T_E  = 1 Jahr)

Ergebnis:  T_M =  1,88 T_E =  1,88 Jahre

Sehen wir nun in einem Lexikon nach, z.B. Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Mars_(Planet)#Umlaufbahn), so wird dort eine Umlaufzeit von 687 Tagen angegeben, was ca. 1,9 Jahre entspricht.