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Trigonometrische Funktionen

Allgemeines:
Das Themengebiet "Rechnen im Dreieck" ist eine der wichtigsten Werkzeuge bzw. Hilfsmittel der analystischen Geometrie und kommt nicht nur in der Mathematik zum Einsatz. In den nachfolgenden Kapiteln soll jeweils kurz auf die wichtigsten Eigenschaften in einem Dreieck eingegangen werden.
In diesem Teil sollen die trigonometrischen Funktionen bei Dreiecken näher untersucht werden.
 

Trigonometrische Funktionen bei Dreiecken:
Trigonometrische Funktionen werden auch manchmal als Winkelfunktionen bezeichnet, da sie bei geometrischen Figuren einen Zusammenhang zwischen einem Winkel und Seitenverhältnissen der Figur wiedergeben. Diese Funktionen (wie z.B. die Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion) sind Grundwerkzeuge im Bereich der analystischen Geometrie. Nachfolgend sind die wichtigsten Funktionen dargestellt:

Die Anwendung der trigonometrischen Funktionen bei Dreiecken setzt voraus, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Dabei stehem in einem rechtwinkligen Dreieck die Seitenverhältnisse in Beziehung zu den Winkeln. Die Seiten werden dabei in die Hypotenuse und die Katheten unterschieden, wobei die Katheten nochmals in Ankathete und Gegenkathete unterschieden werden.
  • Hypotenuse: Die Hypotenuse (in einem rechtwinkligen Dreieck) ist die Seite, die dem rechten Winkel (90°) gegenüber liegt (in unserem Beispiel also die Seite c). Damit ist sie auch die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
  • Die anderen beiden Seiten im Dreieck werden als Katheten bezeichnet. Zur Unterscheidung ind An- und Gegenkathete muss man einen bestimmten Winkel betrachten. Die Ankathete ist dabei die Kathete, die an dem Winkel anliegt, die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt (z.B. Betrachten wir den Winkel "alpha", so ist die Seite c die Hypotenuse (da wird nicht weiter unterschieden), die Seite (Kathete) b liegt am Winkel alpha an und ist deshalb die Ankathete und somit die Seite a die Gegenkathete. 


Trigonometrische Funktionen:

  • sin (Winkel) = Gegenkathete : Hypotenuse
  • cos (Winkel) = Ankathete : Hypotenuse
  • tan (Winkel) = Gegenkathete : Ankathete
  • cot (Winkel) = Ankathete : Gegenkathte


Beispiel:
Gesucht ist z.B. der tan (ß(beta)) = Gegenkathete : Ankathete. In dem jetztigen Fall nehmen wir dem Winkel "beta" als Betrachtungspunkt, damit ist die Ankathete (die Kathete, die an "beta" anliegt) die Seite a und damit die Seite b die Gegenkathete.

Damit ist die Lösung von tan (ß(beta)) = Gegenkathete : Ankathete = b : a
 

Anmerkung:
Im Kapitel "Allgemeines über Dreiecke" wurde auch die Notation bei Dreiecken vorgestellt. Die Nummerierung der Ecken (mit Großbuchstaben) erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, die gegenüberliegenden Seiten erhalten den entsprechenden Kleinbuchstaben. Nun könnte man damit sagen, dass es logisch ist, dass die Seite a, die der Ecke A (und damit dem Winkel "alpha") gegenüberliegt, die Gegenkathete (wenn man den Winkel "alpha" betrachtet) sein muss. Normlerweise ist das auch richtig, in Prüfungen kann man aber auch anders nummerieren, deswegen sollt man nie bestimmen, was Ankathete und Gegenkathete ist, ohne das Dreieck gesehen zu haben.
 

Ausgewählte Funktionswerte bei trigonometrischen Funktionen:

weiterführende Informationen auf Lernort-mint.de

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