Die Sinus- und die Cosinusfunktion

Die Sinus- und die Cosinusfunktion gehören zu den sogenannten trigonometrischen Funktionen. In der Mathematik werden Sinus- und Cosinusfunktion verwendet, um alle mathematischen Größen in einem Dreieck zu bestimmen. In allen (anderen) naturwissenschaftlichen Fächern spielen die Sinus- und Cosinusfunktion ebenfalls eine wichtige Rolle. Betrachten wir beispielsweise die Bewegung einer harmonischen Schwingung (Feder mit einem Gewicht, das ausgelenkt wird) oder das Verhalten von Wechselspannung. Diese beiden physikalischen Phänomene lassen sich mithilfe der Sinus bzw. Cosinusfunktion beschreiben. Sowohl die Sinus- als auch die Cosinusfunktion lassen sich ineinander umwandeln

Die Sinus- und Cosinusfunktion

Wie eingangs erwähnt, gehören die Sinus- und Cosinusfunktion zu den trigonometrischen Funktionen. Da die Sinus- und Cosinusfunktion sich auf Winkel in einem Dreieck beziehen, werden die Sinus- und die Cosinusfunktion als Winkelfunktionen bezeichnet. Wie aus der Geometrie bekannt, gibt es in einem Dreieck eine Hypotenuse und zwei Katheten (eine Ankathete und Gegenkathete) und einen Winkel, der zwei “Seiten” des Dreiecks einschließt. Die Sinus und die Cosinusfunktion gelten aber nur in rechtwinkligen Dreiecken. Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus repräsentieren dabei das Verhältnis von Kathete zu Hypotenuse.

Sinus- und Cosinusfunktion

Trigonometrische Funktionen:

• sin (Winkel) = Gegenkathete : Hypotenuse
• cos (Winkel) = Ankathete : Hypotenuse

Die Hypotenuse ist die längste Seite und dem rechten Winkel gegenüber. Die anderen beiden Seiten im Dreieck werden als Katheten bezeichnet. Zur Unterscheidung, ob An- oder Gegenkathete muss man einen bestimmten Winkel betrachten. Die Ankathete ist dabei die Kathete, die an dem Winkel anliegt, die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt

Beispiel: Betrachten wir den Winkel “Alpha”, so ist die Seite c die Hypotenuse, die Seite (Kathete) b liegt am Winkel Alpha an und ist deshalb die Ankathete und somit die Seite a die Gegenkathete => sin (Alpha) = a : c

Betrachten wir uns nun die Auftragung einer Sinus- bzw. Cosinus-Funktion in Abhängigkeit des Winkels.

Sinus- und Cosinusfunktion

Wie wir anhand des Graphen der Sinus- und der Cosinus-Funkion sehen, haben beide Funktionen (sowohl Sinus als auch Cosinus)

• den gleichen Wertebereich, nämlich das Intervall [-1,1]
• den gleichen Definitionsbereich, nämlich R (alle reellen Zahlen)
• beide Funktionen haben unendlich viele Nullstellen
• der Graph beider Funktionen wiederholt sich in periodischen Abständen (Periode 2π)

Der Unterschied beider Funktionen liegt in der Symmetrie, die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, während die Cosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Darüber hinaus kann man aus der Abbildung den Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Cosinusfunktion erkennen. Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion in -x-Richtung um 90° bzw. um π/2,so ist diese Funktion deckungsgleich mit der Cosinusfunktion. Verschiebt man den Graphen der Cosinusfunktion in x-Richtung um 90° bzw. um π/2,so ist diese Funktion deckungsgleich mit der Sinusfunktion.

Rechenregeln mit Sinus- und Cosinusfunktionen

Aus den oben erwähnten Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus leiten sich auch die entsprechenden Regeln ab:

• cos(-x) = cos(x)
• sin(-x) = – sin(x)
• sin(x + y) = sin(x) ·cos(y) + cos(x)· sin(y)
• cos(x + y) = cos(x) ·cos(y) – sin(x)· sin(y)
• sin² (x) + cos²(x) = 1
• sin(2x) = sin(x + x) = 2 sin(x) cos(x)
• cos(2x) = cos(x + x) = cos²(x) – sin²(x)