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Ordnung bei Differentialgleichungen - Differentialgleichung 1. und 2. Ordnung

Allgemeines über Differentialgleichungen:

In der Mathematik (im Schulunterricht) unterscheidet man nach lineare und nicht-linearer Differentialgleichung, wobei unter anderem die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird. Eine andere Einteilung in unterschiedliche Arten von Differentialgleichungen ist die Einteilung nach der höchst vorkommenden Ableitung (ähnlich wie bei Potenzfunktionen). In diesem Fall bezeichnet man die Einteilung der Differentialgleichung nach ihrer Ordnung. Im Rahmen des Schulunterrichts kommen in der Regel die Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Ordnung vor. 

  • Liegt einer Gleichung in der Form  y′ + a(x)y = f(x) vor, so handelt es sich um eine Differentialgleichung 1. Ordnung
  • Liegt einer Gleichung in der Form  y′′ + a(x)y = f(x) vor, so handelt es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung

 

Ordnung bei Differentialgleichungen - Differentialgleichung 1. und 2. Ordnung

Im Physik und Chemieunterricht begegnen uns immer wieder Differentialgleichungen, was unter anderem daran liegt, dass viele Naturgesetze eine "Differentialgleichung" erfordern (beispielsweise die Newtonschen Gesetze oder der radioaktive Zerfall). Gemäß der mathematischen Definition ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, die mindestens eine Ableitung einer unbekannten Funktion enthält, also beispielsweise y′ = 2y

Die Lösung von Differentialgleichungen ist oft anspruchsvoll, daher hat man die Differentialgleichung in unterschiedliche Arten eingeteilt. Dies erleichtert, den Aufbau der Differentialgleichung zu erkennen und ein "allgemeines" Schema zu Lösung dieser Differentialgleichung heranzuziehen. Wie eingangs beschrieben, lassen sich Differentialgleichung nach dem Grad der höchsten Ableitung einteilen. Man spricht hierbei von einer Einteilung der Differentialgleichung nach ihrer Ordnung. So enthält beispielsweise eine Differentialgleichung eine 1. Ableitung und/oder 2. Ableitung (wichtig: eine Differentialgleichung enthält neben der Ableitung auch noch die Funktion (z.B.y′′ + 2y′ + y = 0)

Wollen wir also eine Differentialgleichung nach ihrer Ordnung einteilen (in 1. Ordnung, 2. Ordnung .... ), so suchen wir die höchste Ableitung, die in der Gleichung vorkommt. Der Grad der Ableitung ist zugleich der Ordnungsgrad der Differentialgleichung.

Beispiel: y′′ + 2y′ + y = 0

In dem Beispiel enthält die Differentialgleichung die Funktion y, die 1. Ableitung 2y′ und die zweite Ableitung y′′. Daher handelt es sich bei dem Beispiel um eine Differentialgleichung 2. Ordnung.

weitere Unterscheidung in Bezug auf Differentialgleichungen sind:

  • linear / nicht-linear
  • homogen / inhomogen
  • explizit / implizit
mehr dazu in den folgenden Kapiteln