Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Im folgenden Kapitel soll eine kurze, allgemeine Einführung über Gleichungssysteme erfolgen
Prinzipiell besteht der Fachausdruck “Differentialgleichung” aus zwei Begriffen “Differential” und “Gleichung”.
z.B. 8 = 5 + x (Gleichung)
z.B. y = 5 + x (Funktion)
Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich 8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an. Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung), aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt, so wird z.B. bei x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet. Bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet.
Aus diesem Grund ist es korrekter bei einer Differentialgleichung von einer Funktionsgleichung zu sprechen, denn die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion.
Differentialgleichung
So kommt die Differentialgleichung zu ihrem Namen, da sie eine (Funktions)gleichung ist, die eine Ableitung in Relation setzt und die Ableitung ist nichts anderes als unendlich kleine Differentiale.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:
Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)
Wie bekannt sein dürfte, gib die Ableitung einer Funktion die Steigung an einer bestimmten Stelle x an. Das Integral einer Funktion ist die Fläche unter der Kurve bzw. Graphen.
Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.
Beispiel: f´(x) = 4. Die zugehörige Stammfunktion (Integral) lautet F(x) = 4x + C (Konstante), diese Konstante kann nur durch die Kenntnis von zusätzlichen Werten bestimmt werden. Leitet man z.B. f(x) = 4x + 2 ab, so erhält man f´(x) = 4, ebenso ist die Ableitung von f(x) = 4x + 10 , f´(x) = 4. Dies führt dazu, dass die Lösung(smenge) einer Differentialgleichung im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Hilfswerte. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.