Differentialgleichungen – Einführung

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Im folgenden Kapitel soll eine kurze, allgemeine Einführung über Gleichungssysteme erfolgen

Differentialgleichung – Eine Einführung

Prinzipiell besteht der Fachausdruck “Differentialgleichung” aus zwei Begriffen “Differential” und “Gleichung”.

• Den Begriff “Gleichung” sollte man zuerst betrachten, dabei kann man auf die “Definition” einer Gleichung zurückkommen: Eine Gleichung ist eine Aussage, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen das gleiche steht. Die Lösung einer Differentialgleichung ist aber nicht einfach ein Zahlenwert, sondern beschreibt einen Graphen im Koordinatensystem.

z.B. 8 = 5 + x (Gleichung)
z.B. y = 5 + x (Funktion)

Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich 8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an. Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung), aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt, so wird z.B. bei x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet. Bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet.

Aus diesem Grund ist es korrekter bei einer Differentialgleichung von einer Funktionsgleichung zu sprechen, denn die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion.

• Nun kann man den Begriff “Differential” betrachten. Dazu die “Definition” einer Differentialgleichung: Differentialgleichungen sind (Funktions)gleichungen, die eine Funktion f mit deren Ableitung f´ in Beziehung setzt. Die Ableitung kann man wiederum definieren als der Quotient von Differentialen dx und dy, die wiederum aus D x und D y herleiten lassen (für unendlich kleine D x):

Differentialgleichung

So kommt die Differentialgleichung zu ihrem Namen, da sie eine (Funktions)gleichung ist, die eine Ableitung in Relation setzt und die Ableitung ist nichts anderes als unendlich kleine Differentiale.

Arten von Differentialgleichungen

Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

“Bildliche” Vorstellung eines Integrals

Wie bekannt sein dürfte, gib die Ableitung einer Funktion die Steigung an einer bestimmten Stelle x an. Das Integral einer Funktion ist die Fläche unter der Kurve bzw. Graphen.

Lösen von Differentialgleichungen

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.
Beispiel: f´(x) = 4. Die zugehörige Stammfunktion (Integral) lautet F(x) = 4x + C (Konstante), diese Konstante kann nur durch die Kenntnis von zusätzlichen Werten bestimmt werden. Leitet man z.B. f(x) = 4x + 2 ab, so erhält man f´(x) = 4, ebenso ist die Ableitung von f(x) = 4x + 10 , f´(x) = 4. Dies führt dazu, dass die Lösung(smenge) einer Differentialgleichung im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Hilfswerte. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.