Differentialgleichungen – Einführung

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Im folgenden Kapitel soll eine kurze, allgemeine Einführung über Gleichungssysteme erfolgen

Differentialgleichung – Eine Einführung

Prinzipiell besteht der Fachausdruck “Differentialgleichung” aus zwei Begriffen “Differential” und “Gleichung”.

• Den Begriff “Gleichung” sollte man zuerst betrachten, dabei kann man auf die “Definition” einer Gleichung zurückkommen: Eine Gleichung ist eine Aussage, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen das gleiche steht. Die Lösung einer Differentialgleichung ist aber nicht einfach ein Zahlenwert, sondern beschreibt einen Graphen im Koordinatensystem.

z.B. 8 = 5 + x (Gleichung)
z.B. y = 5 + x (Funktion)

Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich 8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an. Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung), aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt, so wird z.B. bei x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet. Bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet.

Aus diesem Grund ist es korrekter bei einer Differentialgleichung von einer Funktionsgleichung zu sprechen, denn die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion.

• Nun kann man den Begriff “Differential” betrachten. Dazu die “Definition” einer Differentialgleichung: Differentialgleichungen sind (Funktions)gleichungen, die eine Funktion f mit deren Ableitung f´ in Beziehung setzt. Die Ableitung kann man wiederum definieren als der Quotient von Differentialen dx und dy, die wiederum aus D x und D y herleiten lassen (für unendlich kleine D x):

Differentialgleichung

So kommt die Differentialgleichung zu ihrem Namen, da sie eine (Funktions)gleichung ist, die eine Ableitung in Relation setzt und die Ableitung ist nichts anderes als unendlich kleine Differentiale.

Arten von Differentialgleichungen

Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

“Bildliche” Vorstellung eines Integrals

Wie bekannt sein dürfte, gib die Ableitung einer Funktion die Steigung an einer bestimmten Stelle x an. Das Integral einer Funktion ist die Fläche unter der Kurve bzw. Graphen.

Lösen von Differentialgleichungen

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.
Beispiel: f´(x) = 4. Die zugehörige Stammfunktion (Integral) lautet F(x) = 4x + C (Konstante), diese Konstante kann nur durch die Kenntnis von zusätzlichen Werten bestimmt werden. Leitet man z.B. f(x) = 4x + 2 ab, so erhält man f´(x) = 4, ebenso ist die Ableitung von f(x) = 4x + 10 , f´(x) = 4. Dies führt dazu, dass die Lösung(smenge) einer Differentialgleichung im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Hilfswerte. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.

Differentialgleichungen – Einführung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen einer Unbekannten Funktion auftreten.

2. Was versteht man unter der Lösung einer Differentialgleichung?

Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt, wenn man sie und ihre Ableitungen in die Gleichung einsetzt.

3. Wie lautet die allgemeinste Form einer Differentialgleichung erster Ordnung?

Die allgemeinste Form einer Differentialgleichung erster Ordnung ist: f(x, y, y’) = 0.

4. Was ist eine homogene Differentialgleichung?

Eine homogene Differentialgleichung ist eine Gleichung, bei der alle Terme vom gleichen Grad sind.

5. Was bedeutet es, eine Differentialgleichung zu “separieren”?

Das “Separieren” einer Differentialgleichung bedeutet, die Variable und ihre Ableitung auf unterschiedliche Seiten der Gleichung zu bringen.

6. Was ist ein Anfangs- oder Randwertproblem?

Ein Anfangs- oder Randwertproblem ist eine Differentialgleichung, für die zusätzlich noch die Funktionswerte oder Ableitungen an bestimmten Stellen gegeben sind.

7. Wie bestimmt man die spezielle Lösung einer Differentialgleichung aus ihrer allgemeinen Lösung?

Die spezielle Lösung einer Differentialgleichung bestimmt man aus ihrer allgemeinen Lösung, indem man die Anfangs- oder Randbedingungen in die allgemeine Lösung einsetzt und daraus die Konstanten berechnet.

8. Was ist die Euler-Cauchy-Gleichung?

Die Euler-Cauchy-Gleichung ist eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

9. Was versteht man unter einer linearen Differentialgleichung?

Eine lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, bei der die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur als erste Potenz auftreten und die Koeffizienten der Funktion und ihrer Ableitungen nur von der unabhängigen Variablen abhängen.

10. Wie lässt sich eine Differentialgleichung höherer Ordnung auf eine System von Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen?

Man kann eine Differentialgleichung höherer Ordnung auf ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen, indem man die Ableitungen höherer Ordnung durch neue Funktionen ersetzt.