Ausgewählte Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Wie funktioniert “Differenzieren” (Ableiten)?

Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xⁿ) bzw. Summenregel (f(x) =a·xⁿ + b·x^m) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)ⁿ). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.

Ausgewählte Ableitungen von Funktionen

• Ausgewählte Ableitungen von Funktionen mit Potenzen.

• Ausgewählte Ableitungen spezieller Funktionen

• Ausgewählte Ableitungen von e- und ln-Funktionen

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Ausgewählte Ableitungen – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Ableitung einer Konstanten?

Die Ableitung einer Konstanten ist immer gleich Null.

2. Wie leitet man die Funktion f(x) = x ab?

Die Ableitung der Funktion f(x) = x ist 1.

3. Welche Regel wendet man an, um die Funktion f(x) = x^2 abzuleiten?

Man wendet die Regel für Potenzfunktionen an. Das Ergebnis ist 2x.

4. Wie sieht die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) aus?

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist cos(x).

5. Wie leitet man eine Exponentialfunktion ab?

Die Ableitung einer Exponentialfunktion f(x) = e^x bleibt gleich (e^x).

6. Welche Rolle spielt die Quotientenregel bei Ableitungen?

Die Quotientenregel wird verwendet, um die Ableitung von Quotienten zweier Funktionen zu bestimmen.

7. Wie sieht die Ableitung der Funktion f(x) = log(x) aus?

Die Ableitung der Funktion f(x) = log(x) ist 1/x.

8. Wie sieht die Produktregel bei der Ableitung aus?

Die Produktregel besagt, dass das Ableiten des Produkts zweier Funktionen f(x)g(x) gleich der ersten Funktion mal der Ableitung der zweiten plus der zweiten Funktion mal der Ableitung der ersten ist (f(x)g'(x) + g(x)f'(x)).

9. Was ist die Ableitung der Trigonometrischen Funktion f(x) = cos(x)?

Die Ableitung der Funktion f(x) = cos(x) ist -sin(x).

10. Wie sieht die Kette der Regeln aus, wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion f(g(x)) bestimmt?

Die Kette der Regeln besagt, dass die Ableitung der zusammengesetzten Funktion f(g(x)) gleich der Ableitung von f mit g(x) eingesetzt, multipliziert mit der Ableitung von g ist (f'(g(x)) * g'(x)).