Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:
Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)
Zusätzlich lässt sich eine Differentialgleichung auch nach der höchst vorkommenden Ableitung einteilen (Einteilung nach der Ordnung):
Beispiel: a·y´´ + b·y´ + c·y = 0, hier handelt es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung, da die höchst vorkommende Ableitung die zweite Ableitung ist (deswegen 2. Ordnung). Daneben kann man -wie auch den Differentialgleichungen 1. Ordnung – in homogen und inhomogen unterteilen. Liegt einer Gleichung in der Form a·y´´ + b·y´ + c·y = 0 vor, so handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung.
Hier sei nochmals erwähnt, dass sich nur einige Typen von Differentialgleichungen analytisch lösen lassen. Nachfolgend soll das Lösungsverfahren für homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (allg. Form ay´´ + by´ + cy = 0) vorgestellt werden.
Beispiel: y´´ – 8y´ + 15y = 0.
y´´ – 8y´ + 15y = 0 wird zu K2 -8K1 + 15K0 = 0
Aus den Grundlagen der Mathematik ist bekannt: K1 = K und K0 = 1
Somit erhält man K2 – 8K + 15 = 0
K1 = 5
K2 = 3
F(x) = y = c1eK1x+ c2eK2x (Gleichung 1)
F(x) = y = (c1x + c2)·eKx (Gleichung 2)
Hat man im 2. Schritt zwei verschiedene (reelle) Lösungen, so ist Gleichung 1 die richtige, hat man nur eine reelle Lösung, so ist Gleichung 2 die allgemeine Lösung.
Lösung: y = c1eK1x + c2eK2x
Lösung: y = c1e5x + c2e3x