Differentialgleichungen – 2. Ordnung

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

Die Differentialgleichung 2. Ordnung

Zusätzlich lässt sich eine Differentialgleichung auch nach der höchst vorkommenden Ableitung einteilen (Einteilung nach der Ordnung):
Beispiel: a·y´´ + b·y´ + c·y = 0, hier handelt es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung, da die höchst vorkommende Ableitung die zweite Ableitung ist (deswegen 2. Ordnung). Daneben kann man -wie auch den Differentialgleichungen 1. Ordnung – in homogen und inhomogen unterteilen. Liegt einer Gleichung in der Form a·y´´ + b·y´ + c·y = 0 vor, so handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung.

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen 2. Ordnung

Hier sei nochmals erwähnt, dass sich nur einige Typen von Differentialgleichungen analytisch lösen lassen. Nachfolgend soll das Lösungsverfahren für homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (allg. Form ay´´ + by´ + cy = 0) vorgestellt werden.

Beispiel: y´´ – 8y´ + 15y = 0.

• 1. Schritt: Aufstellen einer charakteristischen Gleichung, mit deren Hilfe die Differentialgleichung auf die Lösung einer Polynomgleichung zurückgeführt werden kann. Hierbei bezeichnet man die “y” mit einer neuen Variablen (z.B. K) und ordnet dem “K” eine Hochzahl zu, die der Ableitungsordnung des zugehörigen “y” entspricht (z.B. Hat man eine 2. Ableitung von “y” (y´´), so erhält das “K” die Hochzahl 2) und man erhält aus der Differentialgleichung eine quadratische Gleichung, die man relativ leicht lösen kann.

y´´ – 8y´ + 15y = 0 wird zu K² -8K¹ + 15K⁰ = 0

Aus den Grundlagen der Mathematik ist bekannt: K¹ = K und K⁰ = 1
Somit erhält man K² – 8K + 15 = 0

• 2. Schritt: Lösung der quadratischen Gleichung

K₁ = 5
K₂ = 3

• 3. Schritt: Richtige Lösungsformel auswählen (hierfür benötigt man die Ergebnisse für K_1/2 aus Schritt 2).

F(x) = y = c₁e^K1x+ c₂e^K2x (Gleichung 1)
F(x) = y = (c₁x + c₂)·e^Kx (Gleichung 2)

Hat man im 2. Schritt zwei verschiedene (reelle) Lösungen, so ist Gleichung 1 die richtige, hat man nur eine reelle Lösung, so ist Gleichung 2 die allgemeine Lösung.

Lösung: y = c₁e^K1x + c₂e^K2x

• 4. Schritt: Einsetzen in der Werte für K₁ und K₂ in die allgemeine Lösung.

Lösung: y = c₁e^5x + c₂e^3x

• 5. Schritt: Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen c = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung (=> Anfangswertproblem (AWP)).