Differentialgleichungen – exakte Lösung durch Bestimmung eines Anfangswertes

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

Lösungsverfahren

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

• Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
• Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.

Anfangswertproblem (AWP)

Wichtig ist, dass aus der Lösung der Differentialgleichung immer gilt, dass die Lösungsmenge einer Differentialgleichung im allgemeinen eine Funktionenschar ist (durch die Konstante C). Ist nun eine genau definierte Funktion als Lösung gesucht, so reicht die Vorgabe der Differentialgleichung nicht aus, sondern dazu benötigt man noch einen Anfangs- oder Randwert. Zur Lösung dieses Problems kann man auf einige Regeln zurückgreifen:

Eine Differentialgleichung bzw. deren Lösung ist im Allgemeinen eine Funktion und bildet damit einen Graphen ab. Jeder Punkt auf dem Graphen kann zugeordnet werden. Mit einem gegebenen Anfangswert kann nun die eindeutige Lösung berechnet werden um so aus der Fülle der Lösungen einer Differentialgleichung eine bestimmte Lösung auszuwählen (oft als Anfangswertproblem (AWP), Anfangswertaufgabe (AWA) oder Cauchy-Problem bezeichnet).

Beispiel: y´(x) = x
Die Lösung dieser Differentialgleichung (Stammfunktion) ist F(x) = 0,5·x² + C (C ist eine Konstante).
Nun kann man sich einige Lösungsfunktionen einmal betrachten:

Lösungen der Differentialgleichung

All diese Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichung. Sucht man aber einen bestimmten Punkt, so ist nur eine der Lösungen exakt. Soll der Punkt (4,5 / 11,125) auf dem Graphen liegen, so kommt als Lösung der Differentialgleichung nur F(x) = 0,5x² + 1 in Frage.

Wie löst man nun das Anfangswertproblem?
Ein Anfangswertproblem wird immer folgendermaßen gelöst:
Zuerst wird immer die Differentialgleichung gelöst. Dabei taucht in der Lösung immer eine Integrationskonstante (meist als “C” bezeichnet) auf. Die exakte Lösung kann mithilfe einer Anfangsbedingung bestimmt werden (Anfangsbedingung wird in die allgemeine Lösung der DGL eingesetzt) und erhält so eine Lösung, die die Anfangsbedingung erfüllt.

Beispiel: Als Lösung traf vorher F(x) = 0,5x² + C auf. Zusätzlich soll als Punkt (der eine Lösung von F(x) ist) P (4,5 / 11,125) vorgegeben sein. Dazu setzt man einfach den Wert in F(x) = y = 0,5x² + C ein und erhält C.

Lösung: 11,125 = 0,5·(4,5)² + C
C = 11,125 – 10,125 = 1
Die exakte Lösung der DGL y´(x) = x stellt somit F(x) = 0,5x² + 1 dar.