Die Ableitung von Funktionen ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern. So wird beispielsweise die “Reaktionsgeschwindigkeit” in der Chemie die Ableitung der Reaktionskoordinate nach der Zeit. Die Geschwindigkeit in der Physik ist ebenfalls eine Ableitung, nämlich die Strecke nach der Zeit.
Warum das “Ableiten” einer Funktion oft “Schwierigkeiten” macht, liegt daran, dass es verschiedene Regeln gibt, um eine Funktion abzuleiten. Die Ableitungsregel ist abhängig vom “Funktionstyp”
Die bekanntesten Ableitungsregeln sind die Potenzregel, die Summen/Differenzregel, die Produkt/Quotientenregel und die schwierigste, die Kettenregel. Einfache Funktionen kann man mit der Potenz- (f(x) =a·xn) bzw. Summenregel (f(x) =a·xn + b·xm) lösen. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)). Liegt eine “verschachtelte” Funktion vor (“die Funktion einer Funktion”) vor, wird auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)n) angewandt. Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.
Die Anwendung der Summen- und Differenzenregel beim Ableiten:
Die Summenregel wird beim Ableiten einer Summe von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion gliedweise abgeleitet werden. Bei der Anwendung wird die Potenzregel verwendet. Dabei gilt: die Ableitung von y = xn ist y’ = n · xn-1.
Die Anwendung der Produktregel beim Ableiten:
Die Produktregel wird beim Ableiten eines Produktes von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion nicht gliedweise abgeleitet werden
Die Anwendung der Quotientenregel beim Ableiten:
Die Quotientenregel wird beim Ableiten einer Division von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion nicht gliedweise abgeleitet werden
Die Anwendung der Kettenregel beim Ableiten:
Die Kettenregel in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von Funktionen des Typs: f(x)= u(v(x)). Die Kettenregel führt die Ableitung einer Verkettung von Funktionen auf das Modell der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück und damit auf das Modell der Potenz- bzw. Summenregel.
Es gibt aber spezielle Funktionen, für die keine Ableitungsregeln anwendbar sind. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig gelernt werden. Beispiele für solche Funktionen sind: sin(x), cos(x)
Ableitungsregeln sind Regeln, die aus der Definition der Ableitung entstehen und als Werkzeuge fungieren, um die Ableitungen verschiedener Funktionen zu finden.
Die wichtigsten Grundregeln der Ableitung sind die Konstantenregel, die Summenregel, die Differenzenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion gleich null ist.
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung der Summe von zwei Funktionen die Summe der Ableitungen dieser Funktionen ist.
Die Produktregel wird verwendet, um die Ableitung des Produkts von zwei Funktionen zu ermitteln.
Die Quotientenregel wird verwendet, um die Ableitung des Quotienten von zwei Funktionen zu finden.
Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu bestimmen.
Die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus besagt, dass die Ableitung von ln(u) ist 1/u.
Die Ableitungsregel für die Exponentialfunktion besagt, dass die Ableitung von e^u ist e^u.
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gibt die Steigung der Tangente an dem betreffenden Punkt an.