Differentialgleichungen – Verwendung

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

Verwendung von Differentialgleichungen

Differentialgleichungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum
• Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Zusammengefasst können mit Differentialgleichungen wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden und ermöglichen so Vorhersagen über
die Entwicklung der Größen im betrachtenten System.

Lösungsverfahren einer Differentialgleichung

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

• Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
• Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.

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Differentialgleichungen – Verwendung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die ein Verhältnis zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen herstellt.

2. Welche zwei Haupttypen von Differentialgleichungen kennen Sie?

Es gibt gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

3. Wie unterscheidet sich eine gewöhnliche von einer partiellen Differentialgleichung?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung beinhaltet Ableitungen nach nur einer unabhängigen Variablen, während eine partielle Differentialgleichung Ableitungen nach mehr als einer unabhängigen Variablen umfasst.

4. Wo spielen Differentialgleichungen eine wichtige Rolle?

Differentialgleichungen spielen eine wesentliche Rolle in Naturwissenschaften wie Physik, Chemie, Biologie und Technik wie Elektrotechnik und Mechanik sowie in den wirtschaftswissenschaftlichen Modellbildungen.

5. Was beschreibt eine Differentialgleichung erster Ordnung?

Eine Differentialgleichung erster Ordnung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer ersten Ableitung.

6. Was ist eine homogene Differentialgleichung?

Eine homogene Differentialgleichung ist eine Gleichung, bei der alle Terme den gleichen Grad haben.

7. Wie löst man Differentialgleichungen?

Differentialgleichungen können durch spezielle Methoden gelöst werden, etwa durch Trennung der Variablen, durch Einsatz spezifischer Lösungsformeln oder auch numerische Lösungsmethoden.

8. Was ist eine Anfangswertbedingung bei Differentialgleichungen?

Die Anfangswertbedingung ist ein vorab festgelegter Punkt, an dem die Funktionswerte und alle nötigen Ableitungen bekannt sind. Sie wird benötigt, um genaue Lösungen zu finden.

9. Was sind Anwendungsbeispiele für Differentialgleichungen?

Differentialgleichungen werden unter anderem zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen wie der Bewegung von Körpern, der Ausbreitung von Wärme oder der Veränderung von Populationen in der Biologie verwendet.

10. Was ist eine Eigenfunktion einer Differentialgleichung?

Eine Eigenfunktion ist eine Lösung einer Differentialgleichung, die durch Multiplikation der Funktion mit einer Konstanten, den Eigenwert, erhalten wird.