Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen
Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:
So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.
Wie in der Einleitung beschrieben, war das erste Ziel von “Ableitungen” die Steigung von Graphen zu bestimmen. Bei Steigungsdreiecken (im Graphen) lässt sich die Steigung m sehr einfach berechnen: m = y : x. Da nicht nur die “durchschnittliche” Steigung von Interesse war, sondern auch Geschwindigkeiten zwischen zwei beliebigen Punkten wurde aus dem “x” und “y” eine Differenz (vorher von x1 = 0 bis x2 = x2 nun von x1 = x1 bis x2 =x2):
Bestimmung der Steigung von Graphen
Aus dem Diagramm lässt sich erkennen, dass die (Durchschnitts-)Steigung einer linearen Funktion die Steigung des Graphen sehr gut wiedergibt, liegt aber kein linearer Graph vor, so liegt auch keine konstante Steigung vor. Meistens ist aber das “Steigungsverhalten” eines nichtlinearen Graphen von Interesse, so dass der zweite Punkt möglichst nah am ersten Punkt gewählt werden soll (siehe Diagramm: Steigung 2 ist wesentlich genauer als Steigung 1). Um die Steigung an einem bestimmten Punkt exakt zu berechnen, nähert man diesem Punkt einen zweiten so nah an, sodass sie fast gleich sind. Dies lässt sich mathematisch folgendermaßen definieren:
Differentialquotient