Der Sinn von Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen

Sinn von Ableitungen

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Herkunft der Bezeichnung “Differenzieren”

Wie in der Einleitung beschrieben, war das erste Ziel von “Ableitungen” die Steigung von Graphen zu bestimmen. Bei Steigungsdreiecken (im Graphen) lässt sich die Steigung m sehr einfach berechnen: m = y : x. Da nicht nur die “durchschnittliche” Steigung von Interesse war, sondern auch Geschwindigkeiten zwischen zwei beliebigen Punkten wurde aus dem “x” und “y” eine Differenz (vorher von x₁ = 0 bis x₂ = x₂ nun von x₁ = x₁ bis x₂ =x₂):

 

Aus dem Diagramm lässt sich erkennen, dass die (Durchschnitts-)Steigung einer linearen Funktion die Steigung des Graphen sehr gut wiedergibt, liegt aber kein linearer Graph vor, so liegt auch keine konstante Steigung vor. Meistens ist aber das “Steigungsverhalten” eines nichtlinearen Graphen von Interesse, so dass der zweite Punkt möglichst nah am ersten Punkt gewählt werden soll (siehe Diagramm: Steigung 2 ist wesentlich genauer als Steigung 1). Um die Steigung an einem bestimmten Punkt exakt zu berechnen, nähert man diesem Punkt einen zweiten so nah an, sodass sie fast gleich sind. Dies lässt sich mathematisch folgendermaßen definieren:

Differentialquotient

Aus diesem Grund wird die Steigung auch Differentialquotient oder Differenzialquotient genannt, was nichts anderes als die Ableitung ist.