Die Kettenregel für Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Wie funktioniert “Differenzieren”?

Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xⁿ) bzw. Summenregel (f(x) =a·xⁿ + b·x^m) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)ⁿ). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.

Anwendung der Kettenregel

Wie in der Einleitung beschrieben, ist die Kettenregel  in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von einfachen Funktionen des Typs: f(x)= u(v(x)). Die Kettenregel führt die Ableitung einer Verkettung von Funktionen auf das Modell der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück und damit auf das Modell der Potenz- bzw. Summenregel.

• Die der Kettenregel zugrundeliegende Formel ist:

f(x) = u(v(x)) => f´(x) = u`(v(x))·v`(x)

In Worten: Die Ableitung einer zusammengesetzten (bzw. verketteten) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.

Woran erkennt man, dass die Kettenregel angewendet werden muss?

Prinzipiell muss eine verkettete Funktion aus einer inneren und einer äußeren Funktion bestehen. Immer wenn die innere oder äußere Funktion ein “Argument” hat, das nicht nur “x” enthält, ist es eine verkettete Funktion. Dazu ist es nötig, die innere und äußere Funktion zu kontrollieren, ob jede einzelne Funktion das Argument x hat. Ist dies erfüllt, ist es keine verkettete Funktion (z.B. f(x) = 3x² + 2x).  Hat hingegen mindestens eine Funktion nicht das Argument x, sondern ein anderes Argument (z.B. sin(x), ln(x) u.s.w), handelt es sich hierbei um eine verkettete Funktion (z.B. sin (x +2)).

Wie geht man vor?

Anhand eines Beispieles: f(x) = sin(x² +1)

• Bestimmen, ob es sich um eine verkettete Funktion handelt: In diesem Fall handelt es sich um eine verkettete Funktion, da beide Funktionen (sin und x² +1) miteinander verknüpft sind und eine Funktion (sin) kein “x” enthält

• Man bestimmt die innere und äußere Funktion: In diesem Fall ist die äußere Funktion sin und die innere Funktion x² +1

• Man substituiert die innere Funktion, d.h. durch eine Variable (z.B u) ersetzen: In unserem Fall x²+1 => u

• Nun erhält man die neue Funktion (nach der Substitution), die man nun ableiten kann (und hat somit die äußere Funktion abgeleitet): In unserem Fall sin (x² +1) wird nach der Substitution zu sin(u). Abgeleitet erhält man cos(u), da die Ableitung von sinus der cosinus ist.

• Nun wird die abgeleitete Funktion wieder rücksubstituiert: aus cos(u) wird cos(x² + 1)

• Nun wird die innere Funktion abgeleitet (ohne Substitution): In unserem Fall: x² +1 = 2x

• Nun wird die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert. cos(x² + 1)·2x

Beispiel:

f(x) = (x + 2)²

• Mithilfe der Kettenregel

• Mithilfe der Produkt- und Summenregel

Wie man an dem Vergleich beider Lösungsmethoden sehen kann, sind verkettete Funktionen manchmal relativ einfach zu erkennen, ob aber die Anwendung der Kettenregel sinnvoll ist, ist manchmal gar nicht so einfach zu entscheiden und bereitet immer wieder Kopfzerbrechen. Auf jeden Fall ist die Kettenregel bei Funktionen wie sin, cos, tan.