Die Kettenregel für Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Wie funktioniert “Differenzieren”?

Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xⁿ) bzw. Summenregel (f(x) =a·xⁿ + b·x^m) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)ⁿ). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.

Anwendung der Kettenregel

Wie in der Einleitung beschrieben, ist die Kettenregel  in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von einfachen Funktionen des Typs: f(x)= u(v(x)). Die Kettenregel führt die Ableitung einer Verkettung von Funktionen auf das Modell der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück und damit auf das Modell der Potenz- bzw. Summenregel.

• Die der Kettenregel zugrundeliegende Formel ist:

f(x) = u(v(x)) => f´(x) = u`(v(x))·v`(x)

In Worten: Die Ableitung einer zusammengesetzten (bzw. verketteten) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.

Woran erkennt man, dass die Kettenregel angewendet werden muss?

Prinzipiell muss eine verkettete Funktion aus einer inneren und einer äußeren Funktion bestehen. Immer wenn die innere oder äußere Funktion ein “Argument” hat, das nicht nur “x” enthält, ist es eine verkettete Funktion. Dazu ist es nötig, die innere und äußere Funktion zu kontrollieren, ob jede einzelne Funktion das Argument x hat. Ist dies erfüllt, ist es keine verkettete Funktion (z.B. f(x) = 3x² + 2x).  Hat hingegen mindestens eine Funktion nicht das Argument x, sondern ein anderes Argument (z.B. sin(x), ln(x) u.s.w), handelt es sich hierbei um eine verkettete Funktion (z.B. sin (x +2)).

Wie geht man vor?

Anhand eines Beispieles: f(x) = sin(x² +1)

• Bestimmen, ob es sich um eine verkettete Funktion handelt: In diesem Fall handelt es sich um eine verkettete Funktion, da beide Funktionen (sin und x² +1) miteinander verknüpft sind und eine Funktion (sin) kein “x” enthält

• Man bestimmt die innere und äußere Funktion: In diesem Fall ist die äußere Funktion sin und die innere Funktion x² +1

• Man substituiert die innere Funktion, d.h. durch eine Variable (z.B u) ersetzen: In unserem Fall x²+1 => u

• Nun erhält man die neue Funktion (nach der Substitution), die man nun ableiten kann (und hat somit die äußere Funktion abgeleitet): In unserem Fall sin (x² +1) wird nach der Substitution zu sin(u). Abgeleitet erhält man cos(u), da die Ableitung von sinus der cosinus ist.

• Nun wird die abgeleitete Funktion wieder rücksubstituiert: aus cos(u) wird cos(x² + 1)

• Nun wird die innere Funktion abgeleitet (ohne Substitution): In unserem Fall: x² +1 = 2x

• Nun wird die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert. cos(x² + 1)·2x

Beispiel:

f(x) = (x + 2)²

• Mithilfe der Kettenregel

 

Bestimmung äußerer und innerer Funktion	innere Funktion (x +2), äußere Funktion ()²
Substitution der inneren Funktion	f(x) = (u)² mit u = (x + 2)
Ableiten der neuen Funktion	Äußere Ableitung = 2u
Rücksubstituieren	Äußere Ableitung = 2·(x + 2)
Ableiten der inneren Funktion	Innere Ableitung = 1
Multiplizieren innerer Ableutung mit der äußeren Ableitung	f´(x) = 2·(x + 2) 1 = 2·(x + 2)

 

• Mithilfe der Produkt- und Summenregel

 

Funktion “entketten”	f(x) = (x + 2)² = x² + 4x + 4
Ableiten nach der Produkt- und Summenregel	f´(x) = 2x + 4
Ausklammern könnte man noch	f´(x) = 2·(x + 2)

Wie man an dem Vergleich beider Lösungsmethoden sehen kann, sind verkettete Funktionen manchmal relativ einfach zu erkennen, ob aber die Anwendung der Kettenregel sinnvoll ist, ist manchmal gar nicht so einfach zu entscheiden und bereitet immer wieder Kopfzerbrechen. Auf jeden Fall ist die Kettenregel bei Funktionen wie sin, cos, tan.

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Die Kettenregel für Ableitungen – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der Kettenregel in der Differentialrechnung?

Die Kettenregel ist eine Formel in der Differentialrechnung, die verwendet wird, um die Ableitung einer Verkettung (Zusammensetzung) von Funktionen zu berechnen.

2. In welcher mathematischen Disziplin wird die Kettenregel angewendet?

Die Kettenregel wird in der Differentialrechnung angewendet.

3. Wie lautet die Kettenregel formal?

Die Regel lautet: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) * g'(x). D.h., um die Ableitung einer Funktion, die durch eine Verkettung von Funktionen gebildet wird, zu berechnen, nimmt man die Ableitung der äußeren Funktion (f’) und setzt die innere Funktion (g(x)) ein, multipliziert dann mit der Ableitung der inneren Funktion (g’).

4. Warum wird die Kettenregel verwendet?

Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, die aus der Zusammensetzung mehrerer Funktionen besteht.

5. Woher stammt der Name “Kettenregel”?

Der Name “Kettenregel” stammt daher, dass eine Funktion nach der anderen (wie in einer Kette) abgeleitet wird.

6. Was ist die innere und äußere Funktion in der Kettenregel?

Bei der Kettenregel spricht man von der inneren und äußeren Funktion. Die innere Funktion ist dabei die Funktion, die in einer anderen Funktion eingesetzt wird (g(x)). Die äußere Funktion ist die Funktion, die die innere Funktion enthält (f).

7. Wie leitet man die Funktion f(x) = (2x + 3)³ mit der Kettenregel ab?

Mit der Kettenregel wird die Ableitung wie folgt berechnet: f'(x) = 3*(2x + 3)²*2.

8. Wie leitet man die Funktion f(x) = sin(x²) mit der Kettenregel ab?

Mit der Kettenregel wird die Ableitung wie folgt berechnet: f'(x) = cos(x²)*2x.

9. Was passiert, wenn man die Kettenregel auf eine Funktion anwendet, die nicht aus der Verkettung zweier Funktionen besteht?

Falls die Funktion nicht aus einer Verkettung von Funktionen besteht, hat die Anwendung der Kettenregel keinen effektiven Nutzen. Es wäre ausreichend, die allgemeine Ableitungsregeln anzuwenden.

10. Wie lautet die Kettenregel in Worten?

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen gleich der Ableitung der äußeren Funktion, eingesetzt die innere Funktion, multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion ist.