Die partielle Differentialgleichung – Lösungsverfahren

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)·y + h(x)y)

Lösung einer Differentialgleichung

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

• Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung  integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
• Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.

Die partielle Differentialgleichung

Wie oben schon beschrieben, hängt die partielle Differentialgleichung von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab. Genauso wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es auch hier die Begriffe “homogen” und “inhomogen”. Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn die keine sog. Störfunktion
aufweist (Beispiel: y´(x) + f(x) + g(y) = 0 => homogen). Ist dies jedoch der Fall, nennt man sie inhomogen. Zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen kann man auf die Regel der Produktableitung zurückgreifen.

Rückgriff auf die Regel der Produktableitung

Bei “geschicktem” Umwandeln der gegebenen Differentialgleichung in ein u(x) bzw. v(x) kann die partielle Differentialgleichung leicht gelöst werden. Ziel ist es dabei, dass u´(x) eine Zahl ist, und so leicht integriert (Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen) werden kann.

Beispiel:

Lösungsverfahren

Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen C = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.