Differentialgleichungen sind nicht immer einfach zu lösen. Für viele Arten von Differentialgleichungen gibt es aber allgemeine “Schemata”, um diese Art von Differentialgleichung zu lösen. Daher ist es wichtig, eine vorliegende Differentialgleichung nach ihrem Aufbau zu unterscheiden (beispielsweise Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung, lineare oder nicht-linerare Differentialgleichung). In dem folgenden Kapitel werden nun die grundlegenden Arten bzw. Unterscheidungsmerkmale von Differentialgleichungen vorgestellt.
In der Physik (in Anlehnung an die Newtonschen Gesetze) “schreibt” man vielfach eine Differentialgleichung beginnend mit der höchsten Ableitung. Allgemein wird eine Differentialgleichung als explizit, wenn sie nach der höchsten Ableitung “umgestellt” ist
y′ = 2y + 3x (=> explizite Form)
Explizit bedeutet also, dass die höchste vorkommende Ableitung auf einer Seite der Gleichung alleine steht. Alle anderen Formen einer Differentialgleichung werden als implizit bezeichnet.
Eine Differentialgleichung kann eine unterschiedliche Zahl von Variablen haben. Kommt in einer Differentialgleichung nur Ableitungen nach einer Variablen vor, wird die Differentialgleichung als gewöhnlich bezeichnet. Das bedeutet, die abgeleitete Funktion ist nur von einer Variablen abhängig. Ist dies nicht der Fall, wird die entsprechende Differentialgleichung als partiell bezeichnet.
Bei einer partielle Differentialgleichung liegt eine Gleichung vor, die eine unbekannte Funktion mehrerer Variabler mit einer oder mehrerer Ableitungen enthält.
Differentialgleichungen lassen sich noch in lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen unterteilen.
Nicht-lineare Differentialgleichungen liegen vor, wenn die Ableitungen (oder die Funktion) in der Differentialgleichung
Diese Art der Unterscheidung verwendet man nur bei linearen Differentialgleichungen. So unterscheidet man bei linearen Differentialgleichungen zwischen homogener und inhomogener Differentialgleichung
Homogene Differentialgleichungen enthalten neben der Funktion bzw. deren Ableitungen keine weiteren “Störfunktionen”.
Ein Differentialgleichung (in der Regel abgekürzt als DGL) ist ein mathematischer Ausdruck, der die Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Es handelt sich dabei um eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen ausdrückt.
Die Hauptkategorien von Differentialgleichungen sind die gewöhnlichen Differentialgleichungen und die partiellen Differentialgleichungen.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die nur eine unabhängige Variable enthält.
Eine partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die zwei oder mehr unabhängige Variablen enthält.
Eine Differentialgleichung wird als homogen bezeichnet, wenn alle Terme der Gleichung die gleiche Ordnung von Ableitungen der gesuchten Funktion(en) haben.
Wenn eine Differentialgleichung Terme enthält, die frei von der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen sind, nennt man sie inhomogen.
Eine lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, in der die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz und nicht multipliziert untereinander auftreten.
Eine Differentialgleichung, die nicht den Regeln der linearen Differentialgleichungen entspricht, wird als nichtlineare Differentialgleichung bezeichnet.
Eine explizite Differentialgleichung enthält die gesuchte Funktion nur einmal und sie steht alleine auf einer Seite der Gleichung, während bei einer impliziten Differentialgleichung, die gesuchte Funktion mehrfach vorkommen kann und auf beiden Seiten der Gleichung stehen kann.
Differentialgleichungen können durch verschiedene Methoden gelöst werden, darunter durch direkte Integration, durch Trennung der Variablen, durch den Gebrauch von Integrationsfaktoren, durch spezielle Lösungstechniken für lineare Differentialgleichungen oder durch numerische Verfahren.