In der Mathematik (im Schulunterricht) unterscheidet man nach lineare und nicht-linearer Differentialgleichung, wobei unter anderem die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird. Eine andere Einteilung in unterschiedliche Arten von Differentialgleichungen ist die Einteilung nach der höchst vorkommenden Ableitung (ähnlich wie bei Potenzfunktionen). In diesem Fall bezeichnet man die Einteilung der Differentialgleichung nach ihrer Ordnung. Im Rahmen des Schulunterrichts kommen in der Regel die Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Ordnung vor.
Im Physik und Chemieunterricht begegnen uns immer wieder Differentialgleichungen, was unter anderem daran liegt, dass viele Naturgesetze eine “Differentialgleichung” erfordern (beispielsweise die Newtonschen Gesetze oder der radioaktive Zerfall). Gemäß der mathematischen Definition ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, die mindestens eine Ableitung einer unbekannten Funktion enthält, also beispielsweise y′ = 2y
Die Lösung von Differentialgleichungen ist oft anspruchsvoll, daher hat man die Differentialgleichung in unterschiedliche Arten eingeteilt. Dies erleichtert, den Aufbau der Differentialgleichung zu erkennen und ein “allgemeines” Schema zu Lösung dieser Differentialgleichung heranzuziehen. Wie eingangs beschrieben, lassen sich Differentialgleichung nach dem Grad der höchsten Ableitung einteilen. Man spricht hierbei von einer Einteilung der Differentialgleichung nach ihrer Ordnung. So enthält beispielsweise eine Differentialgleichung eine 1. Ableitung und/oder 2. Ableitung (wichtig: eine Differentialgleichung enthält neben der Ableitung auch noch die Funktion (z.B.y′′ + 2y′ + y = 0)
Wollen wir also eine Differentialgleichung nach ihrer Ordnung einteilen (in 1. Ordnung, 2. Ordnung …. ), so suchen wir die höchste Ableitung, die in der Gleichung vorkommt. Der Grad der Ableitung ist zugleich der Ordnungsgrad der Differentialgleichung.
Beispiel: y′′ + 2y′ + y = 0
In dem Beispiel enthält die Differentialgleichung die Funktion y, die 1. Ableitung 2y′ und die zweite Ableitung y′′. Daher handelt es sich bei dem Beispiel um eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
weitere Unterscheidung in Bezug auf Differentialgleichungen sind:
Es handelt sich um eine Gleichung, die mindestens eine ableitung einer unbekannten Funktion enthält und deren höchste Ableitung die erste Ordnung ist.
Das ist eine Gleichung mit der höchsten Ableitung der zweiten Ordnung. Beim Lösen kann man eine Wurzelrechnung benötigen.
Die allgemeine Form lautet: dy/dx = f(x), wobei f(x) eine gegebene Funktion ist.
Die allgemeine Form ist: d²y/dx² = f(x,y,dy/dx), wobei f eine gegebene Funktion ist.
Zu den gängigen Methoden gehören z.B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten oder Integration durch Substitution.
Zu den gängigen Methoden gehört z.B. das Reduktionsverfahren abhängig von der Art der Differentialgleichung.
Man kann sie als Feld von Tangenten darstellen, wobei jede Tangente die Steigung zur Lösungskurve an dem jeweiligen Punkt darstellt.
Eine Differentialgleichung 2. Ordnung kann oft durch Phasendiagramme dargestellt werden, die das Verhalten der Funktion zeigen.
Es handelt sich um eine Differentialgleichung zusammen mit einer vorgegebenen Anfangsbedingung, z.B. y(a) = b für eine bestimmte Funktion y.
Es ist eine Differentialgleichung zusammen mit vorgegebenen Bedingungen für die Lösungen an den Rändern des Definitionsbereichs.