Die Potenz- und Summenregel für Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Wie funktioniert “Differenzieren” (Ableiten)?

Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xⁿ) bzw. Summenregel (f(x) =a·xⁿ+ b·x^m) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)ⁿ). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.

Anwendung der Potenz- bzw. Summenregel

Wie in der Einleitung beschrieben, ist Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von einfachen Funktionen des Types: f(x) =a·xⁿ. Eine Erweiterung der Potenzregel ist die Summenregel (in Verbindung mit der Potenzregel) und lässt sich bei Funktionen des Typs (f(x) =a·xⁿ+ b·x^m) anwenden.

Die der Potenzregel zugrundeliegende Formel ist relativ einfach:

 

Eine (Potenz)funktion (f(x) =a·xⁿ) wird mithilfe der Potenzregel abgeleitet (differenziert), indem man den Exponenten z.B.”n” (Hochzahl, die über dem “x” steht”) um eins verringert (n-1) und diese Hochzahl (n) mit der Ausgangsfunktion multipliziert.

Nun kann die Funktion, die differenziert werden soll, mehr Glieder enthalten (z.B. f(x) =a·xⁿ+ b·x^m). Hier kommt nun die Summenregel ins Spiel, die besagt, dass eine Summe (von Funktionsgliedern) so abgeleitet wird, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert (in anderen Worten: die Summe aus zwei oder mehreren differenzierbaren Funktionensgliedern kann gliedweise differenziert werden).

F(x) = g(x) + h(x)
f´(x) = g´(x) + h´(x)

Beispiele:

• F(x) = x² => f´(x) = 2x : Der Exponent über dem “x”, die Zahl 2, wird um eins verringert (2 -> 1) und ergibt die neue Funktion (Ableitung), der ehemalige Exponent “2” wird mit der neuen Gleichung multipliziert.

• F(x) = x²ⁿ => f´(x) = 2nx^2n-1

• F(x) = 2x³ + x² => f´(x) = 6x² +2x

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Die Potenz- und Summenregel für Ableitungen – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Potenzregel der Differentiation?

Die Potenzregel der Differentiation besagt, dass die Ableitung von x^n (wobei n als konstant angesehen wird), n*x^(n-1) ist.

2. Was ist die Summenregel in der Ableitung?

Die Summenregel in der Ableitung besagt, dass die Ableitung der Summe zweier Funktionen die Summe der Ableitungen dieser Funktionen ist.

3. Wie lautet das Differential von x^3+x^2 nach der Potenz- und Summenregel?

Das Differential von x³+x² nach der Potenz- und Summenregel lautet 3x²+2x.

4. Wie lauten die Ableitungen von y=x^4 und y=x^5 mit Hilfe der Potenzregel?

Die Ableitungen von y=x^4 und y=x^5 nach der Potenzregel sind 4x^3 und 5x^4.

5. Was ist die Produktregel?

Die Produktregel ist eine Formel zur Ableitung eines Produkts zweier Funktionen. Sie besagt, dass das Differential eines Produkts das Produkt der ersten Funktion und des Differentials der zweiten plus das Produkt der zweiten Funktion und des Differentials der ersten ist.

6. Wie lauten die Ableitungen von z=3x^2+x und y=5x^3+x^2?

Die Ableitungen von z=3x^2+x und y=5x^3+x^2 nach der Potenz- und Summenregel sind 6x+1 und 15x^2+2x.

7. Wie lauten die Ableitungen von f(x)=x^2+3x^3 und g(x)=2x^4+4x^2 mit der Summen- und Potenzregel?

Die Ableitungen von f(x)=x^2+3x^3 und g(x)=2x^4+4x^2 mit der Summen- und Potenzregel sind 2x+9x^2 und 8x^3+8x.

8. Wie findet man die Ableitung einer Funktion, die aus mehreren Termen besteht, mit Hilfe der Summenregel?

Um die Ableitung einer Funktion, die aus mehreren Termen besteht, mit Hilfe der Summenregel zu finden, leitet man einfach jeden einzelnen Term ab und summiert die Ergebnisse.

9. Wie berechnet man die Ableitung von Funktionen höherer Ordnung nach der Potenzregel?

In der Potenzregel wird die Ableitung von Funktionen höherer Ordnung berechnet, indem man den Exponenten als Multiplikator vor das x setzt und den Exponenten um eins reduziert.

10. Anwendung der Potenz- und Summenregel: Was ist die Ableitung von f(x) = x^5 + 3x^4 + 2x^2?

Die Ableitung von f(x) = x^5 + 3x^4 + 2x^2 unter Anwendung der Potenz- und Summenregel ist 5x^4 + 12x^3 + 4x.