Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung – Lösungsverfahren

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)·y + h(x)y)
Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

• Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
• Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.

Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung

Wie oben schon beschrieben, hängt die gewöhnliche Differentialgleichung nur von einer Variablen ab (allgemein y’ = f(x)). Eine “lineare Differenzialgleichung” bedeutet, dass die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen und zusätzlich dürfen keine Produkte von gesuchter Funktion und ihren Ableitungen auftreten.
Beispiel: y´(x) + 2·y(x) = 0 (gewöhnliche lineare Funktion):

• gewöhnlich, da die DGL nur von der Variable “x” abhängt
• linar, da in der Gleichung einmal die Ableitung y´(x) und zweimal die Funktion y(x) vorkommt. Allgemein: y´(x) = a·y(x)

Diese Gleichung kann man auch als homogene, gewöhnliche lineare Differentialgleichung bezeichnen, denn ähnlich wie bei homogenen linearen Gleichungen liegt hier ein “mathematischer Ausdruck” der Form “a + b = 0” vor => homogen.

Lösungsvorschlag

Im Grunde ist die Integration nichts anders als die umgekehrte Ableitung. Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integrieren ist die sog. Potenzregel. Ziel der Potenzregel ist es, Funktionen der Form f'(x) = y´(x) = a·xⁿ zu integrieren.

• 1. Schritt: Man bringt die gegebene DGL auf die Form y´(x) = a·xⁿ.
• 2. Schritt: Bei der Potenzregel wird die Hochzahl der Funktion betrachtet, die integriert werden soll. Zu dieser (Hochzahl) addiert man die Zahl 1 und diese neue Zahl schreibt man als den neuen Exponenten und teilt gleichzeitig die Funktion durch diese Zahl

Allgemeine Formel

Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integieren ist die sog. Summenregel. Ziel der Summenregel ist es, Funktionen der Form  f'(x) = y´(x) = a·xⁿ + b·x^m + .. zu integrieren

• 1. Schritt: Man bringt die gegebene Funktion auf die Form y´(x) = a·x^n´+ b·x^m + ..
• 2. Schritt: Die Summenregel besagt, dass man bei einer endlichen Summe von Funktionen auch gliedweise integrieren darf. Somit wendet man bei jedem Glied der Funktion die Potenzregel an.

Allgemeine Formel

Zuletzt sei noch kurz das Lösungsverfahren für DGL des Typs f'(x) = y´(x) = a bzw. DGL die ein Glied ohne Variable aufweisen:

Lösung einer Differentialgleichung

Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen C = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.

Beispiel:

• y´(x) = 6x + 3 => y(x) = 6·(x²) : 2 + 3x + C = 3x² + 3x + C

Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung – Lösungsverfahren – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung?

Eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die lediglich Ableitungen von einer einzigen Funktion mit Bezug auf eine einzige Variable enthält.

2. Nennen Sie zwei Arten von Lösungsverfahren für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen.

Das Separationsverfahren und das Verfahren der Variation der Konstanten sind zwei gängige Methoden zur Lösung von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen.

3. Wie lautet die allgemeine Form einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung?

Die allgemeine Form lautet ay” + by’ + cy = f(x), wobei a, b und c eine Konstante sind und f(x) eine beliebige Funktion von x darstellt.

4. Was bedeutet Separation der Variablen?

Separation der Variablen ist eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, bei der die Gleichung in zwei Funktionen geteilt wird, wobei jede Funktion nur eine Variable enthält.

5. Was versteht man unter einer homogenen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung?

Eine homogene gewöhnliche lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung in der Form ay” + by’ + cy = 0, d.h. f(x) = 0.

6. Wie löst man eine homogene gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Um eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen, nutzt man das charakteristische Polynom und liest daraus die Lösungen ab.

7. Was stellt die Partikulärlösung bei einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung dar?

Die Partikulärlösung ist eine spezifische Lösung der Differentialgleichung, welche die gegebene gebrochene Funktion bzw. f(x) erfüllt.

8. Wie sieht der Lösungsansatz für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung aus, wenn das Inhomogene Mitglied eine Exponentialfunktion ist?

Bei einer Exponentialfunktion als inhomogenes Mitglied nimmt der Lösungsansatz die Form Ae^(rx) an, wobei A und r konstante Koeffizienten sind.

9. Was versteht man unter dem Verfahren der Variation der Konstanten?

Das Verfahren der Variation der Konstanten ist eine Methode zur Ermittlung der Partikulärlösung bei inhomogenen gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen.

10. Wie kann die Lösung einer gewöhnlichen linearen Differenzialgleichung überprüft werden?

Durch das Einsetzen der Lösung in die ursprüngliche Differentialgleichung und Prüfung, ob beide Seiten der Gleichung identisch sind.