Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Grenzwerte der Funktion. In der Regel wollen wir wissen, was passiert, wenn wir den x-Wert immer weiter ansteigen lassen. Graphisch kann man dieses Problem selten lösen, das es meist unmöglich ist, einen “kompletten” Funktionsgraphen (übersichtlich) in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Daher wir der Grenzwert einer Funktion errechnet, indem man die x-Werte gegen unendlich (bzw. minus unendlich) laufen lässt und das Ergebnis (den Funktionswert) betrachtet.
Die Grenzwerte einer Funktion lassen sich auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmten, entweder graphisch oder rechnerisch. Graphisch lassen sich die Grenzwerte ermitteln, in dem man den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem einzeichnen und anschließend entlang der x-Achse betrachtet, gegen welchen Wert der Funktionswert “tendiert”.
Die graphische Ermittlung ist in der Regel nur sinnvoll, wenn wir den Grenzwert der Funktion für eine beliebige Stelle ermitteln wollen. Allerdings besteht überwiegend Interesse, die Grenzwerte (der Funktion) bei unendlichem x-Wert zu ermitteln. Dies macht auch (naturwissenschaftlich) Sinn, da immer wieder die Frage (bei Kurvendiskussionen) beantwortet werden muss, wie sich die Funktionswerte (also die y-Werte) verhalten, wenn der x-Wert immer mehr ansteigt (anschaulich dargestellt: wie schnell [y-Wert] bewegt sich ein Auto einen Abhang bergauf, je mehr Gepäck/Gewicht [x-Wert] im Auto geladen ist).
Gemäß der mathematischen Definition ist der Grenzwert (auch oft als Limes bezeichnet) einer Funktion, der (Funktions-) Wert, dem sich die Funktion an der untersuchten Stelle annähert. Aufgrund der praktischen Bedeutung wird in der Regel der Grenzwert für x gegen “+ unendlich” und “- unendlich” ermittelt. Für viele Funktionen existiert jedoch kein reeller Grenzwert, da der Funktionswert (bei ansteigendem x-Wert) ebenfalls gegen unendlich tendiert. Existiert für einen Funktionsgraphen kein Grenzwert, so divergiert die Funktion. Existiert hingegen ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion (gegen den Grenzwert).
Berechnen lassen sich die Grenzwerte von Funktionen im Unendlichen, wenn wir x gegen unendlich laufen lassen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
Beispiel:
Setzen wir nun einen unendlichen großen Wert, erhalten wir einen unendlich großen Wert im Quadrat. Die Funktion f(x) = x² konvergiert daher nicht gegen einen Grenzwert, denn der Grenzwert der Funktion ist + unendlich.
Setzen wir nun einen unendlichen großen Wert, erhalten wir 1 geteilt durch einen unendlich großen Wert. Die Funktion f(x) = 1 : x konvergiert daher gegen einen Grenzwert, nämlich “Null”, denn 1 : unendlich = 0
Wir können den Grenzwert einer Funktion bestimmen, imdem wir x gegen unendlich bzw. minus unendlich laufen lassen. Nicht immer ist aber die Funktion so einfach wie die Beispiele oben. Daher empfiehlt es sich, die wichtigsten Funktionen (mit Definitionsmenge und Grenzwerte) zu kennen. Bei komplizierten Funktionen aus mehreren “Gliedern” kann man sich mathematisch behelfen. Es genügt die höchste Potenz zu betrachten.
Unter dem Grenzwert einer Funktion versteht man den Wert, den eine Funktion annimmt, wenn die Variable sich einem bestimmten Wert nähert.
Es gibt rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte, je nachdem, ob sich die Variable von rechts oder von links dem Grenzwert nähert.
Der Grenzwert einer Funktion kann durch die Grenzwertsätze oder durch Berechnung des Limes errechnet werden.
Wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, dann existiert der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle nicht.
Eine Kurvendiskussion ist eine Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion, wie Extremstellen, Wendepunkte und Asymptoten, sowie Grenzwerte.
An einem Funktionsgraphen erkennt man das Vorhandensein eines Grenzwertes daran, dass sich die Funktion einem bestimmten Wert nähert, wenn die Variable gegen einen bestimmten Wert strebt.
Ein asymptotischer Grenzwert ist ein Grenzwert, dem sich eine Funktion immer mehr nähert, ohne ihn jedoch jemals genau zu erreichen.
Grenzwerte spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Ableitungen und Integralen, da sie das Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines bestimmten Punktes beschreiben.
Eine Unstetigkeitsstelle ist ein Punkt in einer Funktion, an dem der Grenzwert nicht existiert. Dies kann passieren, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmen oder wenn der Grenzwert unendlich ist.
Grenzwerte können dazu verwendet werden, um die Symmetrie einer Funktion zu untersuchen, indem man überprüft, ob die Grenzwerte an symmetrischen Stellen übereinstimmen.