Symmetrieverhalten von Funktionen

Im Kapitel “Ableitung” von Funktion ist bereits erwähnt worden, dass der Hauptzweck von Ableitungen der Charakterisierung von Funktionen bzw. deren Graphen dient. Diese Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.

Notwendigkeit der Untersuchungen von Funktionen

Die Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion) ist nicht nur eine elementare mathematische Methode, sondern findet auch außerhalb der Mathematik breite Anwendung, z.B. in der Chemie: der Verlauf einer Reaktion lässt sich beschreiben. Aber nicht nur in den MINT-Fächern stößt man immer wieder auf die Notwendigkeit, Graphen zu untersuchen bzw. zu interpretieren. Bestes Beispiel ist z.B. die Berechnung des Break-Even (in wirtschaftlichen Fächern), oft handelt es sich dabei um komplizierte Funktionen mit deren Hilfe berechnet werden soll, ab welcher Stückzahl man Gewinn macht.

Untersuchungen von Funktionen – Symmetrie

Zuerst stellt sich die Frage, warum die Untersuchung des Symmetrieverhaltens von Funktionen bzw. Graphen durchgeführt wird. Die Erklärung ist relativ einfach: Das Zeichnen von Funktionen lässt sich durch das Vorhandensein von Symmetrien vereinfachen, z.B. liegt eine achsensymmetrischer Graph bzw. Funktion vor, so gilt: f(x) = f(-x) und man “spart” sich so die Berechnung einiger Funktionswerte, da sie durch die Symmetrie bekannt sind.

Die Symmetrie von Funktionen

Spricht man von Symmetrieuntersuchungen bei Funktionen bzw. Graphen meint man hauptsächlich nur zwei Symmetrien:

• Achsensymmetrie (Dieses Symmetrieverhalten bedeutet, dass jeder Punkt des Graphen bzw. Funktion durch Spiegelung an einer Achse des Koordinatensystems wieder in einen Punkt des Graphen übergeht. Meistens meint man mit Achsensymmetrie die Symmetrie zur Y-Achse)

• Punktsymmetrie (meistens meint man mit Punktsymmetrie die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, es kann aber auch eine Symmetrie zu einem beliebigen Punkt vorliegen

Veranschaulichung:

Symmetrieverhalten von Funktionen

Achsensymmetrisch liegt vor, wenn es möglich ist, einen Spiegel durch die ausgewählte Achse senkrecht zur Zeichenebene so zu stellen, dass ihr Bild und Spiegelbild zur Deckung kommen. Anders ausgedrückt: Achsensymmetrisch liegt vor, falls man den Graphen in zwei Teile (z.B. entlang der y-Achse) zerlegen kann und diese sich exakt überdecken.
Punktsymmetrie bezüglich eines Punktes liegt vor, wenn der Graph um einen Winkel um diesen Punkt gedreht werden kann und derselbe Graph dabei rauskommt.

Bestimmung der Symmetrie

• Achsensymmetrie zur Y-Achse: Ist eine Funktion achsensymmetrisch kann das mathematisch einfach bewiesen werden, denn es muss gelten: f(-x) = f(x). Um dies nun zu ermitteln, ermittelt man zunächst f(-x) und setzt im Anschluss f(x) = f(-x). Eine Frage, die oft gestellt wird: Kann eine Funktion auch achsensymmetrisch zur x-Achse sein? Um diese Frage zu beantworten kann man sich einmal die Bedingung ansehen, die für eine x-Achsensymmetrie erfüllt sein müsste: f(x) = – f(x). Aus diesem Grund kann die x-Achse nicht als Symmetrieachse dienen, denn zu einem x Wert kann es nur einen y-Wert geben, und nicht einen positiven und negativen gleichzeitig. Somit liegt bei Sinus oder Cosinus-Funktion keine x-Achsensymmetrie vor.

• Punktsymmetrie: Meistens (zumindest in der Schule) wird nur ein Spezialfall der Punktsymmetrie betrachtet, nämlich die Punktsymmetrie zum Ursprung. Ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung kann das mathematisch einfach bewiesen werden, denn es muss gelten: f(-x) = -f(x). Um dies nun zu ermitteln, ermittelt man zunächst f(-x) und setzt im Anschluss f(x) = f(-x). Dabei kann neben der Punktsymmetrie zum Ursprung eine Funktion auch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt sein. So ist eine Funktion punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt, wenn gilt: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt P (x₀/y₀), wenn ein Punkt A und B existiert, die gleich weit von P entfernt sind, aber in umgekehrter Richtung. Dies kann man mathematisch ebenfalls einfach beweisen: f(x₀+ x) – y₀= -f(x₀– x) + y₀.

Beispiele:

• Ist f(x) = x² + 1 symmetrisch zur y-Achse? Dazu berechnet man f(-x) = (-x)² + 1 = x² +1 und das ist gleich f(x) = x² +1. Somit ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

• Ist f(x) = x symmetrisch zum Ursprung? Dazu berechnet man f(x) an der Stelle x = 0. f(0) = 0. Anschließend berechnet man -f(x) an der Stelle x = 0 und erhält ebenfalls den y-Wert 0. Somit gilt f(-x) = -f(x) und damit ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

Symmetrieverhalten von Funktionen – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist das grundlegende Konzept der Symmetrie in Funktionen?

Die Symmetrie in Funktionen bezieht sich auf das Vorhandensein von Ähnlichkeiten oder Duplikaten in den Teilen der Funktion, wenn sie entlang der y-Achse (geradzahlig) oder der x-Achse (ungerade) gefaltet wird.

2. Wie unterscheidet man geradzahlige und ungeradzahlige Funktionen?

Eine Funktion ist gerade, wenn eine 180°-Rotation um den Ursprung keine Änderung hervorruft. Eine Funktion ist ungerade, wenn sie nach einer 180°-Rotation um den Ursprung das Vorzeichen wechselt.

3. Was ist eine gerade Funktion?

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, bei der f(-x) gleich f(x) ist.

4. Was ist eine ungerade Funktion?

Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, bei der f(-x) gleich -f(x) ist.

5. Wie bestimmt man das Symmetrieverhalten einer Funktion graphisch?

Die graphische Bestimmung des Symmetrieverhaltens einer Funktion erfordert das Zeichnen des Funktionsgraphen und die Untersuchung, ob es eine Achsensymmetrie (gerade Funktion) oder Punktsymmetrie (ungerade Funktion) gibt.

6. Was bedeutet es, wenn eine Funktion sowohl gerade als auch ungerade ist?

Wenn eine Funktion sowohl gerade als auch ungerade ist, bedeutet dies, dass die Funktion konstant ist und alle ihre Funktionswerte null sind.

7. Welche Auswirkungen hat das Symmetrieverhalten auf die Funktion?

Das Symmetrieverhalten beeinflusst das Verhalten ungefährer Funktionen, insbesondere wenn sie für die Kurvenanpassung und die Berechnung von Flächen unter der Kurve verwendet werden.

8. Was sagt uns das Symmetrieverhalten einer Funktion über ihre Integrale?

Das Symmetrieverhalten einer Funktion kann uns Hinweise geben, ob das bestimmte Integral der Funktion über ein symmetrisches Intervall null ist (im Falle ungerader Funktionen) oder uns erlauben, das Integral leichter zu berechnen (im Falle gerader Funktionen).

9. Was ist der Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie?

Achsensymmetrie tritt auf, wenn sich die rechte und linke Seite eines Graphen spiegeln. Punktsymmetrie hingegen tritt auf, wenn eine um 180° rotierte Funktion der ursprünglichen Funktion entspricht.

10. Wie kann man das Symmetrieverhalten einer Funktion mathematisch überprüfen?

Man kann das Symmetrieverhalten einer Funktion überprüfen, indem man den Funktionswert an -x und x berechnet. Wenn beide Werte gleich sind, ist die Funktion gerade. Wenn die Werte gegenüberliegend, aber gleich sind, ist die Funktion ungerade. Wenn keines von beiden zutrifft, hat die Funktion keine Symmetrie.