Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.
Mathematisch definiert ist eine Funktion eine Menge von Paaren (in der Regel mit x, y bezeichnet). Bei einer Funktion wird dabei jedem Element x aus der sogenannten Menge D (der Definitionsbereich, der Zahlenbereich für den die Funktion gültig ist) genau ein Element y aus der sogenannten Menge W (der Wertebereich) zugeordnet.
Die Elemente x, die in der Menge D enthalten sind, werden als “Argument”, die Elemente y als Funktionswert der Funktion bezeichnet.Bei einer Funktion werden aber nicht zwei zufällige Paare x,y zusammengestellt, sondern es liegt ein sogenannter funktionaler Zusammenhang vor (daher auch der Name “Funktion”. Zwischen beiden Elementen x und y muss ein Zusammenhang bestehen: z.B. Die Anzahl an Produkten x (die ich kaufe) und deren Kaufpreis y (den ich bezahlen muss).
Eine Funktion gibt diesen Zusammenhang zwischen den beiden Elementen x und y wieder, wobei einer unabhängigen Variablen x eine von x abhängige
Variable y zugeordnet wird (z.B. die Anzahl der Produkte x, die ich auswähle ist unabhängig – der Gesamtpreis y, den ich dafür bezahlen muss, ist nicht unabhängig, sondern hängt von der Anzahl der Produkte ab).
Hinweis: Die beiden Begriffe “Funktion f” und “Funktionswert f(x)” dürfen nicht miteinander verwechselt werden. Daher ist die Schreibweise f = x² nicht korrekt, sondern muss lauten f(x) = x².
Beispiel: Ich kaufe einen Stift (=> Variable x) und zahle einen Preis (=> Variable y) von 2 € je Stift. Die Funktion, die nun den Zusammenhang zwischen Anzahl Stifte und den Preis beschreibt, lautet f(x) = y = 2x
Unter einer Funktion in der Mathematik versteht man eine spezielle Beziehung zwischen zwei Mengen, die so beschaffen ist, dass jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet wird.
Eine Funktion besteht aus der Definitionsmenge (die Menge der Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann) und der Zielmenge (die Menge der Werte, die die Funktion annehmen kann).
eine Funktion kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, wie zum Beispiel durch eine Formel, einen Graphen, eine Tabelle oder eine Wortbeschreibung.
Der Hauptunterschied liegt darin, dass eine Funktion eine Regel ist, die zu jeder Zahl aus einer bestimmten Menge von Zahlen genau eine andere Zahl zuordnet, während eine Gleichung eine Behauptung ist, dass zwei Terme gleich sind.
Die Definitionsmenge einer Funktion ist die vollständige Menge von Eingabewerten (oder unabhängigen Variablen), für die die Funktion definiert ist.
Der Funktionswert ist der Wert, den die Funktion annimmt, wenn eine bestimmte Eingabe oder ein bestimmter x-Wert in die Funktion eingegeben wird.
Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Das bedeutet, dass jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird und umgekehrt.
Nein, eine Funktion kann für denselben x-Wert nicht zwei verschiedene y-Werte haben. Für jeden x-Wert gibt es genau einen y-Wert.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade abbildet. Sie hat die allgemeine Form y = mx + b.
Eine Funktion ist stetig, wenn sie an allen Punkten ihres Definitionsbereichs keine Sprünge, Lücken oder Asymptoten aufweist.