Integrierbarkeit einer Funktion (Niveau Sek. I)

Integration von Funktionen werden in allen naturwissenschaftlichen Fächern benötigt. Dies liegt daran, dass die wesentliche Aufgabe der Integralrechnung die Berechnung eines Flächeninhalts ist (die Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen). Im Rahmen der Schulmathematik gilt, dass eine Funktion integrierbar ist, wenn die Funktion (im zu integrierenden Intervall) stetig ist.

Integrierbarkeit einer Funktion

Dieses Kapitel befasst sich nur mit der Feststellung der Integrierbarkeit einer Funktion (nicht um die Integrations-Vorschriften).

Gemäß der mathematischen Definition ist eine Funktion in einem Intervall [a, b] integrierbar, wenn die Funktion “beschränkt” ist (d.h. die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und gleich sind, d.h. es gibt keine sogenannte Polstelle). Diese “Beschränktheit” ist Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion. Ist nun die Funktion in dem gesamten Integrationsintervall [a, b] stetig, so existiert das “bestimmte Integral” (=> ein eindeutiger Wert)

Voraussetzung zur Integrierbarkeit

Hinweis:
Jede Funktion, die stetig ist, ist auch integrierbar. Eine Funktion die integrierbar ist, ist nicht automatisch in allen Stellen stetig ist (z.B. die Signum-Funktion – integrierbar aber in allen Stellen stetig).

Integrierbarkeit einer Funktion (Niveau Sek. I) – Testfragen/-aufgaben

1. Wie lautet die mathematische Definition der Integrierbarkeit einer Funktion?

Eine Funktion ist integrierbar, wenn das Riemann-Integral existiert. Das heißt, wenn die Summe der Flächen unter der Funktion in der Nähe von bestimmten Punkten des Intervalls für all diese Punkte gleich ist.

2. Welche Bedingungen muss eine Funktion erfüllen, um integrierbar zu sein?

Eine Funktion ist integrierbar, wenn sie auf einem geschlossenen Intervall [a, b] definiert und beschränkt ist, und wenn sie auf diesem Intervall nur eine endliche Anzahl von unstetigen Stellen hat.

3. Was ist das Riemann-Integral und wie hängt es mit der Integrierbarkeit zusammen?

Das Riemann-Integral ist ein Weg, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen. Die Existenz des Riemann-Integrals ist eine Bedingung für die Integrierbarkeit einer Funktion.

4. Gibt es Funktionen, die nicht integrierbar sind? Geben Sie ein Beispiel.

Ja, es gibt Funktionen, die nicht integrierbar sind. Ein Beispiel ist die Dirichlet-Funktion, die an rationalen Punkten den Wert 1 und an irrationalen Punkten den Wert 0 hat.

5. Wie kann man zeigen, dass eine Funktion integrierbar ist?

Man kann eine Funktion als integrierbar zeigen, indem man beweist, dass das Riemann-Integral existiert. Das kann man tun, indem man die Funktion in eine endliche Anzahl von Teilintervallen teilt und dann die Summe der Flächen dieser Teilintervalle berechnet.

6. Was ist ein bestimmtes Integral und wie unterscheidet es sich vom unbestimmten Integral?

Ein bestimmtes Integral ist das Integral einer Funktion über ein bestimmtes Intervall. Es gibt einen bestimmten numerischen Wert an, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion ergibt, die durch das Primitive der Funktion dargestellt wird.

7. Was ist die Hauptanwendung der Integrierbarkeit in der Mathematik?

Die Hauptanwendung der Integrierbarkeit in der Mathematik ist die Berechnung von Flächen und Volumina.

8. Was ist der Fundamentalsatz der Integralrechnung?

Der Fundamentalsatz der Integralrechnung verbindet die Integralrechnung mit der Differentialrechnung. Er besagt, dass das bestimmte Integral einer Funktion über ein Intervall [a, b] gleich der Differenz der Funktionswerte ihres Stammes an den Endpunkten dieses Intervalls ist.

9. Wie wird die Integrierbarkeit in der Physik angewandt?

In der Physik wird die Integrierbarkeit oft in der Berechnung von Arbeit, Energie und in der Wellenmechanik angewandt.

10. Wie kann man die Fläche unter einer Funktion berechnen, die integrierbar ist?

Man kann die Fläche unter einer integrierbaren Funktion berechnen, indem man das bestimmte Integral dieser Funktion über das gegebene Intervall findet.