Analyse von Funktionen

Im Kapitel “Ableitung” von Funktion ist bereits erwähnt worden, dass der Hauptzweck von Ableitungen der Charakterisierung von Funktionen bzw. deren Graphen dient. Diese Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.

Notwendigkeit der Untersuchungen von Funktionen

Die Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion) ist nicht nur eine elementare mathematische Methode, sondern findet auch außerhalb der Mathematik breite Anwendung, z.B. in der Chemie: der Verlauf einer Reaktion lässt sich beschreiben. Aber nicht nur in den MINT-Fächern stößt man immer wieder auf die Notwendigkeit, Graphen zu untersuchen bzw. zu interpretieren. Bestes Beispiel ist z.B. die Berechnung des Break-Even (in wirtschaftlichen Fächern), oft handelt es sich dabei um komplizierte Funktionen mit deren Hilfe berechnet werden soll, ab welcher Stückzahl man Gewinn macht.

Untersuchungen von Funktionen

Nachfolgend finden sich einige Möglichkeiten, eine Funktion bzw. Graphen zu charakterisieren:

• Ein wichtiges Kriterium zur Untersuchung von Funktionen ist die Bestimmung des Definitionsbereichs, denn nur innerhalb des Definitionsbereiches ist es sinnvoll bzw. möglich, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.

• Eine ganz einfache Möglichkeit ist die Untersuchung auf Symmetrie, so lässt sich feststellen, ob eine Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist (bei Achsensymmetrie gilt: f(-x) = f(x) und bei Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)

• Man kann die Extrempunkte (Hoch- bzw. Tiefpunkte) der Funktion bestimmen. Dabei gilt: Hochpunkt (f´(an der Stelle x) = 0 und f´´(an der Stelle x) < 0) und Tiefpunkt (f´(an der Stelle x) = 0 und f´´(an der Stelle x) > 0)

• Untersuchung von Wendepunkten. Dabei gilt: Wendepunkt (f´(an der Stelle x) = 0, f´´(an der Stelle x) = 0 und f´´´(an der Stelle x) ist ungleich 0.