Analyse von Funktionen

Im Kapitel “Ableitung” von Funktion ist bereits erwähnt worden, dass der Hauptzweck von Ableitungen der Charakterisierung von Funktionen bzw. deren Graphen dient. Diese Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.

Notwendigkeit der Untersuchungen von Funktionen

Die Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion) ist nicht nur eine elementare mathematische Methode, sondern findet auch außerhalb der Mathematik breite Anwendung, z.B. in der Chemie: der Verlauf einer Reaktion lässt sich beschreiben. Aber nicht nur in den MINT-Fächern stößt man immer wieder auf die Notwendigkeit, Graphen zu untersuchen bzw. zu interpretieren. Bestes Beispiel ist z.B. die Berechnung des Break-Even (in wirtschaftlichen Fächern), oft handelt es sich dabei um komplizierte Funktionen mit deren Hilfe berechnet werden soll, ab welcher Stückzahl man Gewinn macht.

Untersuchungen von Funktionen

Nachfolgend finden sich einige Möglichkeiten, eine Funktion bzw. Graphen zu charakterisieren:

• Ein wichtiges Kriterium zur Untersuchung von Funktionen ist die Bestimmung des Definitionsbereichs, denn nur innerhalb des Definitionsbereiches ist es sinnvoll bzw. möglich, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.

• Eine ganz einfache Möglichkeit ist die Untersuchung auf Symmetrie, so lässt sich feststellen, ob eine Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist (bei Achsensymmetrie gilt: f(-x) = f(x) und bei Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)

• Man kann die Extrempunkte (Hoch- bzw. Tiefpunkte) der Funktion bestimmen. Dabei gilt: Hochpunkt (f´(an der Stelle x) = 0 und f´´(an der Stelle x) < 0) und Tiefpunkt (f´(an der Stelle x) = 0 und f´´(an der Stelle x) > 0)

• Untersuchung von Wendepunkten. Dabei gilt: Wendepunkt (f´(an der Stelle x) = 0, f´´(an der Stelle x) = 0 und f´´´(an der Stelle x) ist ungleich 0.

Analyse von Funktionen – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der “Analyse von Funktionen” im mathematischen Kontext?

Unter der “Analyse von Funktionen” versteht man die Untersuchung von Funktionen hinsichtlich verschiedener Aspekte wie Grenzwerte, Kontinuität, Ableitungen, Integralverhalten und Nullstellen.

2. Wie kann man den Grenzwert einer Funktion bestimmen?

Der Grenzwert einer Funktion kann durch einen Grenzübergang bestimmt werden. Hierbei lässt man die Variable auf einen bestimmten Wert zugehen und beobachtet, welchem Wert die Funktion dabei zustrebt.

3. Was versteht man unter der Ableitung einer Funktion?

Unter der Ableitung einer Funktion versteht man die Rate, mit welcher sich der Wert der Funktion ändert. Sie gibt an, wie steil die Tangente an einem bestimmten Punkt auf der Funktion ist und wird oft benutzt, um Extremstellen oder Wendepunkte zu bestimmen.

4. Wie kann man die Nullstellen einer Funktion finden?

Die Nullstellen einer Funktion sind jene x-Werte, für die die Funktion den Wert 0 hat. Man findet sie, indem man die Funktion gleich Null setzt und diese Gleichung nach x auflöst.

5. Was versteht man unter einem Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, bei dem die erste Ableitung null und die zweite Ableitung ungleich null ist. An diesem Punkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.

6. Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion?

Extremstellen sind die maximalen oder minimalen Werte, die eine Funktion annehmen kann. Man findet sie, indem man die erste Ableitung der Funktion bildet und diese gleich Null setzt.

7. Wie kann man die Kontinuität einer Funktion prüfen?

Eine Funktion ist kontinuierlich an einer Stelle, wenn der Grenzwert an dieser Stelle dem Funktionswert entspricht. Dies kann man prüfen, indem man die Grenzwerte von links und rechts untersucht und mit dem Funktionswert vergleicht.

8. Was gibt die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an?

Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt an, wie stark der Funktionswert mit jeder Einheit in x-richtung steigt oder fällt. Sie ist der Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle.

9. Wie bestimmt man die Fläche unter einer Funktion?

Die Fläche unter einer Funktion bestimmt man mithilfe der Integralrechnung. Dabei wird die Fläche in sehr kleine Rechtecke aufgeteilt und diese addiert.

10. Was sind Wendepunkte in einer Funktion?

Wendepunkte sind solche Punkte auf der Funktion, an denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Sie lassen sich bestimmen, indem man die zweite Ableitung der Funktion gleich Null setzt und die Untersuchung des Krümmungsverhaltens durchführt.