Surjektive, injektive und bijektive Funktionen

Die Begriffe “surjektive, injektiv und bijektiv” stammen aus dem Bereich der Mengenlehre bzw. Beschreibung von Abbildungen. Diese Bezeichnungen charakterisieren, wie ein bestimmter Wert (x) in einer Menge A als Wert (y) in einer Menge B abgebildet wird. Die Begriffe surjektiv, injektiv und bijektiv lassen sich daher auch auf die Beschreibung von Funktionen anwenden. Eine Funktion bzw. die Funktionsgleichung wird als surjektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung aus x∈ Definitionsmenge existiert. Die Funktion wird als injektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung aus x∈Definitionsmenge vorliegt. Ist eine Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv wird diese Funktion als bijektiv bezeichnet.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen

In der Einleitung wurde erwähnt, dass eine Funktion injektiv ist, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung x∈Definitionsmenge vorliegt. Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass bei einer injektiven Funktion jeder Funktionswert (y-Wert) nur höchstens einen dazugehörigen x-Wert (der Definitionsmenge) hat. Dies betrachten wir für die Funktion f(x): y = x²

Funktionsgraph

Funktionsgraph

In dem Funktionsgraph von y = x² erkennen wir, dass ein Funktionswert (y = 4) zwei zugehörige x-Werte hat (x = -2 und x = 2). Daher ist die Funktion nicht injektiv, da jeder y-Wert nur maximal einen dazugehörigen x-Wert haben darf (und umgekehrt).

Betrachten wir nun, ob die Funktion y = x² surjektiv ist. Eine Funktion ist surjektiv, falls für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung x∈ Definitionsmenge exisitiert. Das heißt, eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder y-Wert der Wertemenge / Zielmenge auch vorkommt. Daher ist die Funktion auch nicht surjektiv, da der Funktionswert y = -2 nicht vorkommt.

Zusammenfassung

  • Wie wir am Beispiel y = x² sehen, gibt es auch Funktionen, die weder surjektv noch injektiv sind.
  • Ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist, hängt von der Definitionsmenge und dem Wertebereich ab (= Funktionsvorschrift). Schränkt man beispielsweise den Definitionsbereich ein [0; 4] für die Funktion y = x², so wäre die Funktion in diesem Bereich injektiv.

Zur Erinnerung aus der Mengenlehre:

Zur Erinnerung aus der Mengenlehre

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