Surjektive, injektive und bijektive Funktionen

Die Begriffe “surjektive, injektiv und bijektiv” stammen aus dem Bereich der Mengenlehre bzw. Beschreibung von Abbildungen. Diese Bezeichnungen charakterisieren, wie ein bestimmter Wert (x) in einer Menge A als Wert (y) in einer Menge B abgebildet wird. Die Begriffe surjektiv, injektiv und bijektiv lassen sich daher auch auf die Beschreibung von Funktionen anwenden. Eine Funktion bzw. die Funktionsgleichung wird als surjektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung aus x∈ Definitionsmenge existiert. Die Funktion wird als injektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung aus x∈Definitionsmenge vorliegt. Ist eine Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv wird diese Funktion als bijektiv bezeichnet.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen

In der Einleitung wurde erwähnt, dass eine Funktion injektiv ist, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung x∈Definitionsmenge vorliegt. Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass bei einer injektiven Funktion jeder Funktionswert (y-Wert) nur höchstens einen dazugehörigen x-Wert (der Definitionsmenge) hat. Dies betrachten wir für die Funktion f(x): y = x²

Funktionsgraph

In dem Funktionsgraph von y = x² erkennen wir, dass ein Funktionswert (y = 4) zwei zugehörige x-Werte hat (x = -2 und x = 2). Daher ist die Funktion nicht injektiv, da jeder y-Wert nur maximal einen dazugehörigen x-Wert haben darf (und umgekehrt).

Betrachten wir nun, ob die Funktion y = x² surjektiv ist. Eine Funktion ist surjektiv, falls für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung x∈ Definitionsmenge exisitiert. Das heißt, eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder y-Wert der Wertemenge / Zielmenge auch vorkommt. Daher ist die Funktion auch nicht surjektiv, da der Funktionswert y = -2 nicht vorkommt.

Zusammenfassung

• Wie wir am Beispiel y = x² sehen, gibt es auch Funktionen, die weder surjektv noch injektiv sind.

• Ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist, hängt von der Definitionsmenge und dem Wertebereich ab (= Funktionsvorschrift). Schränkt man beispielsweise den Definitionsbereich ein [0; 4] für die Funktion y = x², so wäre die Funktion in diesem Bereich injektiv.

Zur Erinnerung aus der Mengenlehre:

Zur Erinnerung aus der Mengenlehre

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen – Testfragen/-aufgaben

1. Definition: Was ist eine surjektive Funktion?

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jeder Wert der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert vorkommt.

2. Definition: Was ist eine injektive Funktion?

Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Zielmenge zugeordnet werden.

3. Definition: Was ist eine bijektive Funktion?

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

4. Nenne ein Beispiel für eine surjektive, aber nicht injektive Funktion.

Die Funktion f: R -> R, f(x) = x² ist surjektiv, aber nicht injektiv, da zwei verschiedene x-Werte den gleichen y-Wert haben können.

5. Nenne ein Beispiel für eine injektive, aber nicht surjektive Funktion.

Die Funktion f: R -> R, f(x) = x+2 ist injektiv, aber nicht surjektiv, da nicht jeder y-Wert erreicht wird (z.B. Werte kleiner als 2).

6. Nenne ein Beispiel für eine bijektive Funktion.

Die Funktion f: R -> R, f(x) = x+1 ist bijektiv, da sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

7. Kann eine konstante Funktion injektiv sein?

Nein, denn bei einer konstanten Funktion haben alle Elemente der Definitionsmenge denselben Funktionswert in der Zielmenge.

8. Kann eine konstante Funktion surjektiv sein?

Ja, eine konstante Funktion kann surjektiv sein, wenn die Zielmenge nur aus einem Element besteht.

9. Wie kann man prüfen, ob eine Funktion injektiv ist?

Um zu prüfen, ob eine Funktion injektiv ist, sollte man überprüfen, ob verschiedene x-Werte zu verschiedenen y-Werten führen.

10. Wie kann man prüfen, ob eine Funktion surjektiv ist?

Zur Überprüfung eine Funktion auf Surjektivität, sollte man prüfen, ob jeder y-Wert mindestens einmal erreicht wird.