In der Analysis werden in der Regel Funktionsgraphen untersucht, ein wesentliches Kriterium ist hierbei das “Verhalten” des Graphes (z.B. Nullstellen). Darüber hinaus ist auch von Interesse, ob sich der Funktionsgraph bestimmten x- bzw y-Werten annähert. Nähert sich der Funktionsgraph der x-Achse oder y-Achse an (ohne diese zu Berühren, spricht man von einer Asymptote). Dabei unterscheidet man im Rahmen des Mathematik-Schulunterrichts horizontale Asymptoten (der Funktionsgraph nähert sich einem festen y-Wert parallel zur x-Achse) und vertikale Asymptoten (der Funktionsgraph nähert sich einem festen x-Wert parallel zur y-Achse).
Gemäß der mathematischen Definition sind Asymptoten in der Regel lineare Funktionen (=> Geraden), denen sich ein bestimmter Funktionsgraph annähert. Dabei kommt der Graph der Funktion der Asymptote immer näher, schneidet dieser Asymptote aber nicht. Dies ist eine wesentliche Eigenschaft einer Asymptote (was auch die Übersetzung von Asymptote verdeutlicht: Der Name Asymptote bedeutet sinngemäß “die Nichtzusammenfallende”.
Eine Asymptote ist also eine Gerade (in der höheren Mathematik manchmal auch eine Kurve), an die sich ein Funktionsgraph annähert, aber diese nie berührt oder schneidet. Die Untersuchung einer Funktion nach Asymptoten hat vor allem den Grund, die Funktion bzw. den Funktionsgraphen an dem jeweiligen Rand der Definitionsgrenze zu untersuchen. So ist beispielsweise von Interesse, ob sich ein Funktionsgraph im unendlichen (x gegen ∞) einem bestimmten y-Wert annähert oder ins “unendliche” geht. Beispiele für Asymptoten sind in nachfolgenden Abbildungen:
Asymptote einer Funktion
In der Regel wird eine Funktion an den äußeren Rändern des Definitionsbereiches untersucht. Allgemein kann man aber für jeden (Grenz)wert die Funktion bzw. deren Graphen auf eine Asymptote untersuchen. Allerdings machen in der Regel nur drei “Bereiche” Sinn, diese nach Asymptoten zu untersuchen. Bei rationalen Funktionen untersucht man die Grenzwerte x gegen ∞ und −∞, ob hier sich der Funktionsgraph einem Wert nähert. Bei gebrochenrationalen Funktionen macht es auch Sinn die Definitionslücke zu untersuchen, da hier auch eine Asymptote vorliegen kann.
Eine waagrechte Asymptote (zu einer Funktion) ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verlauft. In der Regel haben gebrochen rationale Funktionen (höchstens) zwei waagrechte Asymptoten. Zum einen, wenn x gegen ∞ geht und zum anderen, wenn x gegen −∞ geht.
Es liegt also eine waagrechte Asymptote vor, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist (z.B. y = x : x³), dann x-Achse ist die waagrechte Asymptote (im unendlichen,−∞ und +∞, nähert sich der Funktionswert Null an.
Eine senkrechte Asymptote (zu einer Funktion) ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse verlauft. Eine senkrechte Asymptote bei einer gebrochen rationalen Funktion liegt vor, wenn bei einem x-Wert für den Funktionswert gilt: der Nenner wird gleich Null, der Zähler wird ungleich Null. Daher lässt sich diese Art der Asymptote für eine Funktion schnell ermitteln, da in diesem Fall der Nenner der Funktion eine Nullstelle hat, aber der entsprechende x-Wert eine Definitionslücke darstellt (z.B. 1 : x)
Eine Asymptote ist eine Gerade, die eine Funktion mit zunehmender oder abnehmender x-Werte immer mehr annähert, aber nie erreicht.
Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikale, horizontale und schräge Asymptoten.
Eine horizontale Asymptote wird ermittelt, indem man den Grenzwert der Funktion für x gegen Unendlich oder gegen minus Unendlich berechnet.
Eine vertikale Asymptote tritt auf, wenn der Nenner einer Funktion null wird und der Zähler nicht null ist.
Nicht alle Funktionen haben Asymptoten. Nur gebrochenrationale Funktionen haben Asymptoten.
Man berechnet den Grenzwert des Quotienten von Funktion und x für x gegen Unendlich und minus Unendlich. Stimmen die Ergebnisse überein und ist das ein endlicher Wert, dann handelt es sich um eine schräge Asymptote.
Die horizontale Asymptote liegt auf der y-Achse.
Wenn eine Funktion eine vertikale Asymptote hat, neigt der Funktionswert dieser Funktion dazu, auf dieser Stelle gegen Unendlich oder minus Unendlich zu laufen.
Ja, einige gebrochenrationale Funktionen können sowohl vertikale als auch horizontale Asymptoten haben.
Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass eine Asymptote eine Linie ist, die sich einer Funktion bis ins Unendliche nähert, ohne sie jemals zu kreuzen. Eine Tangente hingegen ist eine Linie, die eine Kurve an einem Punkt berührt und ihren Momentantrend an diesem Punkt abbildet.