Ableitungen von Funktionen werden in allen naturwissenschaftlichen Fächern benötigt. So ist beispielsweise die Ableitung der Streckenlänge nach der Zeit die Geschwindigkeit. Wie wir in einem anderen Kapitel kennenlernen werden, lässt sich aber nicht jede Funktion ableiten. Daher empfiehlt es sich bei komplexen Funktionen (die abgeleitet werden sollen) vor dem Ableiten die Funktion auf Differenzierbarkeit zu prüfen.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass diese Funktion differenzierbar ist, d.h. die Funktion kann nach einer beliebigen Variable abgeleitet werden. Je nach Lehrplan gibt es unterschiedliche “Definitionen” der Differenzierbarkeit, die am bekanntesten ist
Die rechnerische Ermittlung der Differenzierbarkeit erfolgt in drei Schritten:
Die Überprüfung der Stetigkeit wird im entsprechenden Kapitel erläutert. Grundsätzlich gilt, dass in der Regel jede ganz-rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, während gebrochen-rationale Funktionen nur in ihrem Definitionsbereich stetig sind.
Unter einer differenzierbaren Funktion versteht man eine Funktion, bei der ein bestimmter Punkt P auf der Funktion besteht und eine Tangente an diesem Punkt existiert, d.h. die Funktion ist in diesem Punkt glatt und hat keine Brüche, Ecken oder Sprünge.
Eine differenzierbare Funktion hat an jedem Punkt ihrer Definition einen bestimmten Tangentenpunkt, während eine nicht-differenzierbare Funktion Ecken, Sprünge oder Unstetigkeitsstellen hat, an denen kein spezifischer Tangentenpunkt existiert.
Die Ableitung einer Funktion ist eine neue Funktion, die an jedem Punkt die Steigung der Tangente aufweist.
Die Ableitung einer Funktion wird mithilfe der Differenzierbarkeit ermittelt. Es gibt verschiedene Regeln und Techniken, wie die Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel usw.
Der Hauptsatz der Differentialrechnung verbindet die Integralrechnung mit der Differentialrechnung. Es stellt fest, dass Differentiation und Integration gegensätzliche Operationen sind.
Um festzustellen, ob eine Funktion an einem bestimmten Punkt differenzierbar ist, ist es notwendig zu überprüfen, ob der Grenzwert der Steigungen der Sekanten existiert, d.h. ob die linke und rechte Ableitung übereinstimmen.
Wenn eine Funktion an einem Punkt nicht differenzierbar ist, bedeutet das, dass es dort kein bestimmtes Verhalten aufweist. Es könnte einen Bruch, eine Ecke, Sprünge oder örtliche Maxima und Minima geben.
Der geometrische Sinn der Ableitung ist die Steigung der Tangente an der Funktion an einem bestimmten Punkt. Es ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Funktion an diesem Punkt ändert.
Eine stetige Funktion hat einen durchgehenden Graphen, aber nicht alle stetigen Funktionen sind differenzierbar. Eine Funktion ist nur dann differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt eine bestimmte Steigung oder Ableitung hat.
Die Ableitungen der Grundfunktionen sind die folgenden: Die Ableitung von x^n ist n*x^(n-1), die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist -sin(x), und die Ableitung von e^x ist e^x.