Die Exponentialfunktion und die e-Funktion

In allen naturwissenschaftlichen Fächern versteht man unter der Exponentialfunktion eine Funktion der Form f(x) = a^x, während die e-Funktion eine spezielle Form der Exponentialfunktion ist. Eine e-Funktion hat die allgemeine Form f(x) = e^x. In allen naturwissenschaftlichen Fächern ist die Exponentialfunktion von größer Bedeutung, so lassen sich mit einer Exponentialfunktion Wachstumsprozesse (z.B. Biologie) oder Zerfallsprozesse (in der Chemie und Physik) beschreiben. Aus dem alltäglichen Sprachgebrauch kennen wir den Begriff “exponentielles Wachstum” (beispielsweise bei der Vermehrung von Krankheitserregern), was die Bedeutung der Exponentialfunktion unterstreicht,

Die Exponentialfunktion

Bevor wir uns mit der Exponentialfunktion befassen, kurz zur Abgrenzung “Exponentialfunktion” und “Potenzfunktion”. Bei der Exponentialfunktion ist die Variable (wie der Name sagt) der Exponent, währendbei der Potenzfunktion die Variable die Basis ist. Beispiele: Potenzfunktion f(x) = x² und Exponentialfunktion f(x) = 2^x.

Einen wesentlichen Unterschied zwischen Potenzfunktion und Exponentialfunktion erkennen wir bereits daran, dass bei einer Exponentialfunktion die Basis nie eine negative Zahl sein darf (im Rahmen des Schulunterrichts). Nehmen wir beispielsweise die Funktion f(x) = – 2^x und wählen als Wert für die Variable x gleich 0,5, dann lautet der zugehörige Funktionswert f(x) = y = – 2^0,5. Ein beliebiger Wert hoch 1/2 bedeutet immer die Wurzel dieses Wertes, daher wäre f(x) = y = – 2^0,5 = √ −2 (die Wurzel einer negativen Zahl)

Im Rahmen des Schulunterrichts werden Exponentialfunktionen in zwei verschiedene Gruppen eingeteilt. Zum einen in Exponentialfunktionen, bei denen die Basis kleiner als 1 ist (aber größer gleich 0) und zum anderen in Exponentialfunktionen, deren Basis größer als 1 ist.

Beispiel: Basis ist 0,5 => Funktion f(x) = 0,5^x

Wie wir sehen, ist der “Funktionsgraph” (für x > 0) dieser Exponentialfunktion streng monoton fallend. Je größer der x-Wert, desto kleiner ist der zugehörige Funktionswert. Setzt man nun andere Werte für x ein (x < 0) so gilt:

Auch für diesen Wertebereich der Variablen bzw. des Exponenten ist die Funktion streng monoton fallend. Es macht also keinen Unterschied, ob x > 0 oder x < 0.

Beispiel: Basis ist 2 => Funktion f(x) = 2^x

Wie wir sehen, ist der “Funktionsgraph” (für x > 0) dieser Exponentialfunktion streng monoton steigend. Je größer der x-Wert, desto größer ist der zugehörige Funktionswert. Gleiches gilt für den Wertebereich x < 0 (für den Exponenten).

Zusammenfassende Eigenschaften von Exponentialfunktionen

• Eine Exponentialfunktion hat immer eine positive Zahl als Basis.

• Der Funktionswert einer Exponentialfunktion kann niemals kleiner als 0 sein. Die Basis darf nicht negativ sein und ein “negativer” Exponent für zu keinem negativen Funktionswert (wenn die Basis positiv ist). Daher verläuft der Funktionsgraph einer Exponentialfunktion immer oberhalb der x-Achse.

• Da gilt: f(0) = 2^x = 2⁰ = 1 (bzw. allgemein für jede Basis gültig), kann der Funktionswert, der y-Wert, niemals den Wert 0 annehmen. Das bedeutet, dass Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen keinen Schnittpunkt mit der x-Achse haben. Damit haben Exponentialfunktionen auch keine Nullstellen.

• Aus dem letzten Punkt folgt auch, dass alle Exponentialfunktionen einen “Punkt” gemeinsam haben, nämlich den Punkt P (0/1). Dieser Punkt ist auch der Punkt, in dem der Graph einer Exponentialfunktion die y-Achse schneidet.

Die e-Funktion

Die e-Funktion gehört auch zur “Familie” der Exponentialfunktionen. Wie alle Exponentialfunktionen hat auch die e-Funktion eine (feste) Basis und eine Variable x als Exponent. Daher bezeichnet man die e-Funktion auch als Exponentialfunktion mit der Basis e. Bei der Basis “e” handelt es sich um die sogenannte Eulersche Zahl (ca. 2,7183). Die e-Funktion (f(x) = e^x bzw. f(x) =2,7183…^x) wird auch, da sie die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist, auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Dieser Zusammenhang hilft auch immer wieder beim “Rechnen” mit der e-Funktion, so gilt ln (e^x) = x (die e-Funktion ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus).

Da die e-Funktion eine Exponentialfunktion ist, gelten alle Eigenschaften einer Exponentialfunktion (siehe oben) auch für die e-Funktion.

Die Exponentialfunktion und die e-Funktion – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Exponentialfunktion?

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der eine Konstante (Basis) zur Potenz der Unabhängigen Variablen (Exponent) erhoben wird.

2. Was versteht man unter der e-Funktion?

Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis die Eulersche Zahl (e ≈ 2.71828) ist.

3. Wie lautet die Formel einer Exponentialfunktion?

Die Formel einer Exponentialfunktion ist f(x) = a * b^x mit a ≠ 0 und b > 0, b ≠ 1 .

4. Wie lautet die Formel der e-Funktion?

Die Formel der e-Funktion ist f(x) = a * e^x

5. Was passiert bei der Exponentialfunktion, wenn x gegen Unendlich strebt?

Bei der Exponentialfunktion strebt der Funktionswert gegen Unendlich, wenn x gegen Unendlich strebt, vorausgesetzt, die Basis ist größer als 1.

6. Was ist die Ableitung der e-Funktion?

Die Ableitung der e-Funktion (f(x) = a * e^x) ist f'(x) = a * e^x, d.h., die Funktion ist ihre eigene Ableitung.

7. Was bedeutet es, wenn die Basis der Exponentialfunktion kleiner als 1 ist?

Wenn die Basis der Exponentialfunktion kleiner als 1 ist, dann handelt es sich um eine abnehmende Exponentialfunktion – sie fällt also mit zunehmendem x.

8. Was besagt der Satz von Euler zur e-Funktion?

Der Satz von Euler besagt, dass e zur Potenz einer imaginären Zahl gleich dem Kosinus dieser Zahl plus der imaginären Einheit mal dem Sinus dieser Zahl ist (e^(ix) = cos(x) + i*sin(x))

9. Wie lauten die Umkehrfunktionen von Exponential- und e-Funktion?

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus zur jeweiligen Basis, die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus ln(x).

10. Wie ändert sich die Exponentialfunktion bei Veränderung der Parameter a und b?

Der Parameter a ist der Startwert von f, bei x=0. Der Parameter b bestimmt die Steigung der Funktion. Je größer b, desto steiler steigt (b>1) oder fällt (0<b<1) die Funktion.