Nullstellen einer Funktion – Kurvendiskussion

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Nullstellen der Funktion. Also die Bestimmung der x-Werte, an dem die Funktionswerte y “Null” sind.

Die Nullstellen einer Funktion

Die Nullstellen einer Funktion lassen sich auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmten, entweder graphisch oder rechnerisch. Graphisch lässt sich die Nullstelle ermitteln, an der der Graph die x-Achse schneidet, also der Funktionswert bzw y = 0 ist. Die entsprechenden Koordinaten (x, 0) des Schnittpunktes mit der x-Achse können somit leicht abgelesen werden. Mathematisch werden die Nullstellen als die x-Werte bezeichnet, deren zugehörige Funktionswerte gleich Null sind. D.h. es gilt f(x) = 0.

Rechnerische Ermittlung der Nullstelle einer Funktion

Rechnerisch lässt sich die Nullstelle einer Funktion ermitteln, indem der allgemeine Funktionswert gleich “0” gesetzt wird. Nun muss man nur noch nach der Variablen x auflösen und hat die entsprechenden Nullstellen ermittelt. Bei der Berechnung der Nullstellen helfen ein paar mathematische Grundlagen

• Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion: Damit eine gebrochen-rationale Funktion “0” ist, muss dessen Zähler “0” sein. In diesem Fall muss also nur ermittelt werden, wann der Zähler 0 wird.

• Nullstelle eines Produktes: Ein Produkt hat den Wert “0”, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Man kann Produkte auch durch Ausklammern von Summen erreichen: z.B.  x² + 2x = x · (x + 2)

• Nullstelle bei quadratischen Funktionen: Die Nullstelle einer quadratischen Funktion kann mit Hilfe von Lösungsformel gelöst werden (siehe hierzu die entsprechenden Kapitel im Themengebiet Mathematik – Gleichungen (lösen)). Für Gleichungen des Typs ax² + bx + c = 0 gilt die Lösungsformel

Lösungsformel

• Mithilfe der quadratischen Ergänzung lassen sich ebenfalls die Nullstellen bei einer quadratischen Gleichung ermitteln. Dabei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass diese Gleichung mithilfe einer binomischen Formel wiedergegeben werden kann.

Die ermittelten Nullstellen einer Funktion werden anschließend durch das entsprechende Paar (x,y) wiedergegeben: N1 (x1 / 0), N2 (x2 / 0), u.s.w

Nullstellen einer Funktion – Kurvendiskussion – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Nullstelle einer Funktion?

Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Punkt auf der x-Achse, an dem der Funktionswert (y-Wert) gleich Null ist.

2. Wie bestimmt man die Nullstellen einer linearen Funktion?

Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu bestimmen, setzt man y = 0 und löst die resultierende Gleichung nach x auf.

3. Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Die Nullstellen einer quadratische Funktion bestimmt man mit der Mitternachtsformel oder durch das Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisierung.

4. Was lässt sich über eine Funktion sagen, wenn sie keine Nullstellen hat?

Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, heißt das, dass die Funktion die x-Achse nie kreuzt. Bei einer Parabel zum Beispiel bedeutet dies, dass die Parabel entweder ganz über oder ganz unter der x-Achse liegt.

5. Wie hängt die Anzahl der Nullstellen mit dem Grad einer Funktion zusammen?

Die Anzahl der Nullstellen entspricht höchstens dem Grad der Funktion. Eine lineare Funktion besitzt zum Beispiel maximal 1 Nullstelle, eine quadratische maximal 2 und so weiter.

6. Was versteht man unter der Kurvendiskussion einer Funktion?

Kurvendiskussion ist eine Untersuchungsmethode, um wesentliche Eigenschaften einer Funktion zu bestimmen. Hierzu zählen u.a. Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen.

7. Wie wird die Kurvendiskussion einer Funktion durchgeführt?

Die Kurvendiskussion einer Funktion erfolgt in mehreren Schritten: Funktionsschar, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen werden nacheinander untersucht.

8. Was sind lokale und globale Extrema einer Funktion?

Eine Funktion erreicht ein lokales Maximum (Minimum), wenn sie an dieser Stelle größer (kleiner) ist als in einer kleinen Umgebung. Ist sie an dieser Stelle größer (kleiner) als an allen anderen Stellen, spricht man von einem globalen Maximum (Minimum).

9. Was ist ein Wendepunkt einer Funktion?

Ein Wendepunkt ist ein Punkt einer Funktion, an dem die Kurve ihre Krümmungsrichtung ändert.

10. Was versteht man unter dem Verhalten einer Funktion im Unendlichen?

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x gegen positiv oder negativ unendlich strebt. Man untersucht dazu die Grenzwerte der Funktion für diese Bereiche.