Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Stetigkeit.
Den Begriff “stetig” bzw. “Stetigkeit” kann man anschaulich und mathematisch erklären. Die anschauliche Erklärung des Begriffes “Stetigkeit” einer Funktion kennt jeder mit der Aussage “der Graph einer Funktion macht keine Sprünge (d.h. der Funktionsgraph lässt sich (ohne Absetzen eines Stiftes) als durchgezogene Linie zeichnen).Ist dies nicht der Fall, ist die entsprechende Funktion nicht stetig.
Mathematisch ist der Begriff “stetig” etwas präziser definiert. Eine Funktion ist stetig, wenn die Funktion an allen Stellen stetig ist. Eine Stelle der Funktion ist stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist und dieser mit dem Funktionswert übereinstimmen. Eine Funktion ist also stetig, wenn die genannte Stetigkeitsbedingung für alle x-Werte des Definitionsbereichs erfüllt ist.
Die allermeisten Funktionen sind stetig, es gibt aber auch Funktionen, die nicht stetig sind. Dies kann folgenden Grund haben:
Aus der mathematischen Definition der Stetigkeit bzw. der Stetigkeitsbedingung ergeben sich die “Nachweisregeln” für das Vorliegen einer Stetigkeit:
Wie sicher die meisten erkannt haben, sind das auch die Regeln, die bei der Grenzwert-Berechnung verwendet werden. Daher werden diese Rechenregeln in diesem Kapitel nicht weiter erklärt.
Eine Funktion ist an einer Stelle x=c stetig, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist und der Funktionswert an dieser Stelle existiert. Im mathematischen Sinne, wenn der Grenzwert von beiden Seiten und der eigentliche Funktionswert an der Stelle x=c gleich ist.
Die Definition von Stetigkeit nach Heine besagt, dass eine Funktion an einer Stelle x0 stetig ist, wenn zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ε ein positives δ existiert, so dass für alle x, die in der δ-Umgebung der Stelle x0 liegen (außer x0 selbst), der Funktionswert f(x) in der ε-Umgebung von f(x0) liegt.
Ein Funktion f(x) ist unstetig an einer Stelle x=c, wenn sie an dieser Stelle entweder nicht definiert ist oder einen Sprung hat. Man unterscheidet dabei zwischen Sprungstelle, Polstelle und Unstetigkeitsstelle.
Die Stetigkeit einer Funktion kann man graphisch erkennen, indem man prüft, ob die Funktion ohne Absetzen der Feder gezeichnet werden kann. Wenn dies der Fall ist, dann ist die Funktion stetig. Ansonsten ist die Funktion unstetig.
Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie sowohl stetig als auch differenzierbar ist und ihre Ableitung ebenfalls stetig ist.
Wenn eine Funktion auf einem Intervall stetig ist, dann ist sie an jeder Stelle in diesem Intervall stetig.
Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Heine‘schen Definition unabhängig von der Stelle x0 gewählt werden kann. Bei der Stetigkeit muss das δ für jede x0 einzeln gewählt werden.
Eine abschnittsweise definierte Funktion kann stetig oder unstetig sein, je nachdem, ob die Definitionen der einzelnen Abschnitte an ihren Grenzen übereinstimmen.
Der Satz von Bolzano besagt, dass jede stetige Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall [a,b] definiert ist und an den Enden unterschiedliche Vorzeichen hat, mindestens eine Nullstelle in (a,b) hat.
Zum Beweis der Stetigkeit verwendet man die ε-δ-Definition. Man wählt ein ε > 0 und zeigt, dass es ein δ > 0 gibt, so dass für alle x mit |x – x0| < δ gilt: |f(x) – f(x0)| < ε. Der Beweis ist erfolgreich, wenn man ein passendes δ für jedes ε finden kann.