Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Stetigkeit.
Den Begriff “stetig” bzw. “Stetigkeit” kann man anschaulich und mathematisch erklären. Die anschauliche Erklärung des Begriffes “Stetigkeit” einer Funktion kennt jeder mit der Aussage “der Graph einer Funktion macht keine Sprünge (d.h. der Funktionsgraph lässt sich (ohne Absetzen eines Stiftes) als durchgezogene Linie zeichnen).Ist dies nicht der Fall, ist die entsprechende Funktion nicht stetig.
Mathematisch ist der Begriff “stetig” etwas präziser definiert. Eine Funktion ist stetig, wenn die Funktion an allen Stellen stetig ist. Eine Stelle der Funktion ist stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist und dieser mit dem Funktionswert übereinstimmen. Eine Funktion ist also stetig, wenn die genannte Stetigkeitsbedingung für alle x-Werte des Definitionsbereichs erfüllt ist.
Die allermeisten Funktionen sind stetig, es gibt aber auch Funktionen, die nicht stetig sind. Dies kann folgenden Grund haben:
Aus der mathematischen Definition der Stetigkeit bzw. der Stetigkeitsbedingung ergeben sich die “Nachweisregeln” für das Vorliegen einer Stetigkeit:
Wie sicher die meisten erkannt haben, sind das auch die Regeln, die bei der Grenzwert-Berechnung verwendet werden. Daher werden diese Rechenregeln in diesem Kapitel nicht weiter erklärt.