Die Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen spielen nicht nur in der Mathematik eine Rolle, sondern auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern. Dies liegt daran, dass die
Wurzelfunktion die Umkehrfunktionen einer Potenzfunktion ist. Allgemein schreiben wir für eine Wurzelfunktion: f(x) = x^1/n bzw.f(x) = ⁿ√ x

Die Wurzelfunktion

Nehmen wir beispielsweise die Potenzfunktion f(x) = x², die zugehörige Umkehrfunktion lautet f(x) = √ x. Dies deutet uns bereits an, wie wir eine Potenzfunktion über eine Wurzelfunktion lösen können (bzw. welcher Zusammenhang zwischen der Potenzfunktion und der Wurzelfunktion besteht). Will man eine Potenzfunktion umkehren (und in eine Wurzelfunktion umwandeln), so müssen nur die Variablen x und y vertauscht werden.

f(x) = y = x² =>x, y vertauschen=> x = y² => y = √ x

Im Rahmen der Sekundarstufe 1

rechnen Schüler eigentlich nur mit Wurzelfunktionen, die die Umkehrfunktion der quadratischen Gleichung sind. Daher gilt in diesem Lernstadium, dass unter einer Wurzel nie eine negative Zahl stehen kann. Dies liegt daran, dass die Zahl, die sich unter der Wurzel befindet, mit sich selbst multipliziert diese Zahl (ohne Wurzel) ergibt. Beispiel: 2 = √ (2·2).

Betrachten wir uns eine Wurzelfunktion, und zwar f(x) = √ x

Wurzelfunktion

Anhand des Graphen der Wurzelfunktion √ x können wir bereits alle wichtigen Eigenschaften von Wurzelfunktionen ableiten:

• Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion lautet: D =ℝ₀₊, d.h. der Definitionsbereich liegt im Intervall [0; +∞[
• Der Wertebereich einer Wurzelfunktion lautet: W= ℝ₀₊, d.h. der Wertebereich liegt im Intervall [0; +∞[
• Jede Wurzelfunktion hat eine Nullstelle: N(0/0)
• Jede Wurzelfunktion hat mit allen anderen Wurzelfunktionen zwei Punkte gemeinsam: P1(0/0) und P2(1/1)

Im Rahmen der Sekundarstufe 2

rechnen Schüler mit allgemeinen Wurzelfunktionen, also nicht nur die Umkehrfunktion der quadratischen Gleichung.
Allgemein lautet dies: f(x) = xⁿ (Potenzfunktion) => f(x) = x^1/n, wobei gilt, dass der Exponent zu einem Bruch wird, der zwischen 0 uns 1 liegt. Ansonsten (wäre (1/n) > 1) hätten wir wieder eine Potenzfunktion und keine Wurzelfunktion.

Ausgesprochen wird f(x) = x^1/n bzw. f(x) = ⁿ√ x folgendermaßen: “die n-te Wurzel aus x”, wobei “f(x)” als Wurzelwert, “x” als Radikand und “n” als Wurzelexponent bezeichnet wird.

Würden wir nun unterschiedliche Wurzelfunktionen auftragen, also f(x) =²√ x, f(x) = ³√ x und f(x) = ⁴√ x in einem Diagramm auftragen, fällt auch, dass je höher der Wurzelexponent ist, umso flacher verläuft der entsprechende Graph der Wurzelfunktion. Darüber hinaus erkennen wir, dass alle Funktionswerte im “Bereich” der positiven x-Achse liegen (=> dies resultiert auch aus dem Definitionsbereich). Damit gilt aber auch, dass eine Wurzelfunktion keine Symmetrie besitzt, weder Achsensymmetrie zur x-Achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung. Allerdings haben – wie oben aufgelistet- alle Wurzelfunktionen zwei Punkte gemeinsam: P1(0/0) und P2(1/1). Nehmen wir nur positive x-Werte als Definitionsbereich, so gilt für die Monotonie einer Wurzelfunktion: streng monoton steigend

Rechenoperationen bei Wurzelfunktionen

Wie eingangs erwähnt, wollen wir mit einer Wurzelfunktion in der Regel eine Potenzfunktion lösen. Dabei vertauschen wir die Variablen x und y. Bei den anschließenden Lösungsverfahren gibt es folgende Rechenoperationen:

• Wurzel-Addition: a · ⁿ√ x + b · ⁿ√ x = (a + b) · ⁿ√ x (gleicher Wurzelexponent und Radikand notwendig)

• Wurzel-Subtraktion: a · ⁿ√ x – b · ⁿ√ x = (a – b) · ⁿ√ x (gleicher Wurzelexponent und Radikand notwendig)

• Wurzel-Multiplikation: ⁿ√ a · ⁿ√ b = ⁿ√ (a · b) (gleicher Wurzelexponent notwendig)

• Wurzel-Division: ⁿ√ a : ⁿ√ b = ⁿ√ (a : b) (gleicher Wurzelexponent notwendig)

Die Wurzelfunktion – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Wurzelfunktion?

Die Wurzelfunktion ist eine Kürzung der Potenzfunktion, die als eine Funktion definiert ist, deren Wert pro Punkt dem Quadrat des ausgezogenen Punktes entspricht.

2. Worum handelt es sich bei Quadratwurzeln und welche Symbole repräsentieren sie?

Quadratwurzeln sind ein Spezialfall von Wurzeln. Sie repräsentieren die Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt. Das Symbol für die Quadratwurzel ist √.

3. Wie können Wurzelfunktionen graphisch dargestellt werden?

Die Graphen von Wurzelfunktionen sind oft Teile von Parabeln, die entlang der X-Achse verschoben und verdreht oder auf eine andere Art und Weise transformiert werden.

4. Kann die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden?

In der Menge der reellen Zahlen kann die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden. In der Menge der komplexen Zahlen ist dies jedoch möglich.

5. Was ist die Umkehrfunktion der Quadratwurzelfunktion?

Die Umkehrfunktion der Quadratwurzelfunktion ist die Quadratfunktion.

6. Sind Wurzelfunktionen immer definiert?

Nein, Wurzelfunktionen sind nicht immer definiert. Sie können nur für nichtnegative Argumente definiert werden.

7. Wie verhalten sich Wurzelfunktionen bei Transformationen?

Transformationen beeinflussen das Verhalten von Wurzelfunktionen. Sie können zum Beispiel in vertikaler oder horizontaler Richtung gedehnt oder gestaucht werden.

8. Wie formuliert man die allgemeine Form der Wurzelfunktion?

Die allgemeine Form der Wurzelfunktion ist f(x) = a√(x – h) + k.

9. Was ist die Steigung der Wurzelfunktion an einem bestimmten Punkt?

Die Steigung der Wurzelfunktion an einem bestimmten Punkt kann durch Ableitung der Funktion berechnet werden.

10. Wie berechnet man das Integral einer Wurzelfunktion?

Die Integralberechnung einer Wurzelfunktion umfasst spezielle Integrationstechniken, darunter auch die Substitution.