Wenn wir den Graphen einer Funktion in einem x,y-Koordinatensystem zeichnen wollen, benötigen wir den Definitionsbereich, den Wertebereich und x,y-Wertepaare. Im ersten Schritt bestimmen wir den Definitionsbereich und der Wertebereich der Funktion an. Der Definitionsbereich der Funktion gibt an, für welche x-Werte die Funktion definiert (also erlaubt) ist. So ist beispielsweise nicht “erlaubt” in einer Wurzelfunktion die Wurzel von negativen Werte zu “ziehen”. Der Wertebereich einer Funktion gibt an für welche y-Werte eine Funktion definiert ist. Der Wertebereich deutet uns bereits an, wie der Graph der Funktion zu zeichnen ist.
Hierzu lässt sich im ersten Schritt sagen, dass bei einfachen Funktionen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation eine maximale Definitionsmenge aufweisen, d.h. jeder x-Wert ist zulässig. Bei einer Division liegt bereits eine Einschränkung vor, der Nenner darf niemals “Null” sein. Liegen komplizierte Funktionen wie Logarithmus- oder Wurzelfunktionen vor, muss der Definitionsbereich entsprechend berechnet werden
Im zweiten Schritt berechnen wir die Funktionswerte der Funktion. In diesem Schritt setzten wir die x-Werte ein um berechnen damit y-Werte (= Funktionswerte) der Funktion. Dazu legt man sich eine Wertetabelle an. Dazu erstellt man ein zwei Spalten, in einer Spalte schreibt man die x-Werte und die die andere Spalte schreibt man die y-Werte. Der Wert von “x” entspricht dem Wert auf der x-Koordinate, der berechnete Wert (der Funktionswert) entspricht dem Wert auf der y-Koordinate. Damit erhält man die (x/y)-Wertepaare der zugehörigen Funktion.
Im dritten Schritt werden die (x/y)-Wertepaare in ein x,y-Koordinationsystem eingezeichnet. Zuletzt werden die einzelnen Punkte des Funktionsgraphen zu einem zusammenhängenden Graphen verbunden (hierbei muss auf den Definitionsbereich der Funktion geachtet werden).
Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x) = √ x
1. Schritt: Festlegen der Definitionsmenge und der Wertemenge
2. Schritt: Aufstellen einer Wertetabelle
Aufstellen einer Wertetabelle
3. Schritt: Wertepaare in ein x,y-Diagramm einzeichnen
Einzeichnung der Wertepaare in ein x,y-Diagramm
4. Schritt: Verbinden der einzelnen Punkte im x,y-Diagramm zu einem zusammenhängenden Graphen
Verbindung der einzelnen Punkte im x,y-Diagramm
Der Graph einer Funktion ist eine visuelle Darstellung aller Punkte (x, f(x)), die durch eine bestimmte Funktion gebildet werden.
Ein Koordinatensystem muss mindestens über zwei Achsen verfügen – die x-Achse und die y-Achse.
Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion wird bestimmt, indem man einen Wert für x in die Funktion einsetzt und den entsprechenden Wert für y ausrechnet.
Das Zeichnen des Graphen einer Funktion hilft dabei, die Eigenschaften der Funktion visuell darzustellen und zu verstehen.
Eine Nullstelle ist ein Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Sie wird ermittelt, indem man f(x) = 0 setzt und die Gleichung nach x auflöst.
Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen wird bestimmt, indem man die Grenzwerte der Funktion für x gegen unendlich bzw. minus unendlich berechnet. Es zeigt an, ob der Graph der Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob er unbeschränkt ist.
Ein Extrempunkt zeigt auf dem Graphen einer Funktion entweder ein lokales Maximum oder Minimum an, d.h. einen Punkt, an dem die Funktion mehr oder weniger Wert hat als an allen unmittelbar benachbarten Stellen.
Eine Verschiebung der Funktionsschar führt dazu, dass der gesamte Graph entlang der x- oder y-Achse verschoben wird. Das ändert die Position des Graphen, aber nicht seine Form.
Eine Streckung oder Stauchung der Funktionsschar ändert die Form des Graphen. Bei einer Streckung wird der Graph in Richtung einer der Achsen “ausgedehnt”, bei einer Stauchung wird er “zusammengedrückt”.
Die Schnittpunkte zweier Graphen ermittelt man, indem man die beiden entsprechenden Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst.