Suchfunktion


 
 

Navigation

Differenzierbarkeit einer Funktion

Allgemein:

Ableitungen von Funktionen werden in allen naturwissenschaftlichen Fächern benötigt. So ist beispielsweise die Ableitung der Streckenlänge nach der Zeit die Geschwindigkeit. Wie wir in einem anderen Kapitel kennenlernen werden, lässt sich aber nicht jede Funktion ableiten. Daher empfiehlt es sich bei komplexen Funktionen (die abgeleitet werden sollen) vor dem Ableiten die Funktion auf Differenzierbarkeit zu prüfen.

 

Differenzierbarkeit einer Funktion

Die Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass diese Funktion differenzierbar ist, d.h. die Funktion kann nach einer beliebigen Variable abgeleitet werden. Je nach Lehrplan gibt es unterschiedliche "Definitionen" der Differenzierbarkeit, die am bekanntesten ist

  • Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der zugehörige Funktionsgraph an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente hat (anschaulich heisst das, dass der gezeichnete Graph keine Knicke oder Spitze zeigt)
Die rechnerische Ermittlung der Differenzierbarkeit erfolgt in drei Schritten:
  • Jeder x-Wert der Funktion (bzw. des Intervalls), die abgeleitet werden soll, muss ein Element der Definitionsmenge sein.
  • Die Funktion muss an jeder Stelle stetig sein
  • Der linke und rechte Grenzwert der Steigung (Differentialquotient bzw. 1. Ableitung) muss gleich sein. Dies lässt sich durch folgende "Formel" nachweisen:
Differenzierbarkeit
Die Überprüfung der Stetigkeit wird im entsprechenden Kapitel erläutert. Grundsätzlich gilt, dass in der Regel jede ganz-rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, während gebrochen-rationale Funktionen nur in ihrem Definitionsbereich stetig sind.

Hinweise:

  • Ist eine Funktion nicht stetig, so ist sie auch nicht differenzierbar
  • Eine Funktion kann an einer Stelle stetig sein, muss aber nicht differenzierbar sein.
  • Ist eine Funktion differenzierbar, ist die Funktion auch stetig.