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Extremwerte einer Funktion - Kurvendiskussion

Allgemein:

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung von Extremwerten der Funktion. Extremwerte sind beispielsweise das Minimum und das Maximum einer Funktion (eines Graphen)
 

Die Extremwerte einer Funktion

(Fast) jede Funktion bzw. jede Abbildung in einem Koordinatensystem hat einen "höchsten" Punkt und einen "tiefsten" Punkt. In der Analysis (bzw. der Kurvendiskussion) werden solche Punkte (bzw. Werte) als Hochpunkt (=> Maximum) und Tiefpunkt (=> Minimum) bezeichnet. Diese beiden Punkte werden auch als Extremwerte bezeichnet und lassen sich mit Hilfe der Steigung der Funktion (zeichnerisch und rechnerisch) ermitteln:

  • Hochpunkt: Vor einem Hochpunkt ist die Steigung der Funktion positiv und nach dem Hochpunkt negativ, d.h der zugehörige Graph der Funktion steigt erst an, erreicht den Hochpunkt und sinkt anschließend.
  • Tiefpunkt: Vor einem Tiefpunkt ist die Steigung der Funktion negativ und nach dem Tiefpunkt positiv.

Extremwerte

Wie wir in der obigen Abbildung erkennen, lässt sich ein Extremwert (egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt) näherungsweise graphisch ermitteln, die genauen Koordinatenangaben müssen in der Regel rechnerisch ermittelt werden. Und hier hilft uns die 1. Ableitung. Denn die 1. Ableitung einer Funktion ist nichts anders, als die Steigung der Funktion. Um die Extremwerte der Funktion zu bestimmen, gehen wir nun folgendermaßen vor:

  • Wir leiten die Funktion f ab und erhalten die 1. Ableitung f´
  • Da am "Ort" des Extremwertes keine Steigung vorhanden ist, setzen wir die 1. Ableitung gleich "Null" (f´(x) = 0). Löst man diese Gleichung nach x auf, so erhält man die x-Werte aller Extremstellen.
  • Nun müssen wir noch ermitteln, ob es sich bei dem Extremwert um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. Dazu berechnen wir die Steigung vor dem Extremwert und nach dem Extremwert. Dazu genügt es, einen Wert x < x(Extremstelle) und einen Wert x > x(Extremstelle) in die erste Ableitungsfunktion einzusetzen und die Vorzeichen zu prüfen.Nun gibt es die Möglichkeit positiv-negativ (Hochpunkt) und negativ-positiv (Tiefpunkt).

Nun ist die Mathematik "doch" etwas komplizierter, was man aber erst in höheren Klassenstufen lernt, aber hier schon einmal ein Vorgriff:

  • Es gibt auch die Möglichkeit, dass die Steigung vor dem Extremwert positiv ist und nach dem Extremwert auch positiv ist. In diesem Fall haben wir auch einen Extremwert vorliegen, allerdings keinen Hochpunkt oder Tiefpunkt, sondern einen sogenannten Terassenpunkt. 
  • Nun gibt es auch "komplexere" Funktionen, die mehrere Extremwerte bzw. mehrere "Hochpunkte" und "Tiefpunkte" aufweisen. In diesem Fall müssen wird auch die einzelnen Hoch- bzw. Tiefpunkte untereinander vergleichen. Der "echte" Hochpunkt der Funktion ist der Punkt mit dem größten Funktionswert, der "echte" Tiefpunkt" ist der Punkt mit dem kleinsten bzw. niedrigsten Funktionswerte. Alle anderen Extremwerte werden als lokale Extremstellen bezeichnet. Manchmal wird in Lehrplänen auch der Begriff "absoluter" Hoch- bzw. Tiefpunkt und "lokaler" Hoch- und Tiefpunktverwendet.