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Integrierbarkeit einer Funktion (Niveau Sek. I)

Allgemein:

Integration von Funktionen werden in allen naturwissenschaftlichen Fächern benötigt. Dies liegt daran, dass die wesentliche Aufgabe der Integralrechnung die Berechnung eines Flächeninhalts ist (die Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen). Im Rahmen der Schulmathematik gilt, dass eine Funktion integrierbar ist, wenn die Funktion (im zu integrierenden Intervall) stetig ist.

 

Integrierbarkeit einer Funktion

Dieses Kapitel befasst sich nur mit der Feststellung der Integrierbarkeit einer Funktion (nicht um die Integrations-Vorschriften).

Gemäß der mathematischen Definition ist eine Funktion in einem Intervall [a, b] integrierbar, wenn die Funktion "beschränkt" ist (d.h. die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und gleich sind, d.h. es gibt keine sogenannte Polstelle). Diese "Beschränktheit" ist Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion. Ist nun die Funktion in dem gesamten Integrationsintervall [a, b] stetig, so existiert das "bestimmte Integral" (=> ein eindeutiger Wert)

Die Voraussetzung, dass eine Funktion integrierbar ist, lautet: das die Funktion stetig ist


Hinweis:

Jede Funktion, die stetig ist, ist auch integrierbar. Eine Funktion die integrierbar ist, ist nicht automatisch in allen Stellen stetig ist (z.B. die Signum-Funktion - integrierbar aber in allen Stellen stetig).