Suchfunktion


 
 

Navigation

Nullstellen einer Funktion - Kurvendiskussion

Allgemein:

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Nullstellen der Funktion. Also die Bestimmung der x-Werte, an dem die Funktionswerte y "Null" sind.
 

Die Nullstellen einer Funktion

Die Nullstellen einer Funktion lassen sich auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmten, entweder graphisch oder rechnerisch. Graphisch lässt sich die Nullstelle ermitteln, an der der Graph die x-Achse schneidet, also der Funktionswert bzw y = 0 ist. Die entsprechenden Koordinaten (x, 0) des Schnittpunktes mit der x-Achse können somit leicht abgelesen werden. Mathematisch werden die Nullstellen als die x-Werte bezeichnet, deren zugehörige Funktionswerte gleich Null sind. D.h. es gilt f(x) = 0.

Rechnerisch lässt sich die Nullstelle einer Funktion ermitteln, indem der allgemeine Funktionswert gleich "0" gesetzt wird. Nun muss man nur noch nach der Variablen x auflösen und hat die entsprechenden Nullstellen ermittelt. Bei der Berechnung der Nullstellen helfen ein paar mathematische Grundlagen

  • Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion: Damit eine gebrochen-rationale Funktion "0" ist, muss dessen Zähler "0" sein. In diesem Fall muss also nur ermittelt werden, wann der Zähler 0 wird. 
  • Nullstelle eines Produktes: Ein Produkt hat den Wert "0", wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Man kann Produkte auch durch Ausklammern von Summen erreichen: z.B.  x² + 2x  =  x ·(x + 2)
  • Nullstelle bei quadratischen Funktionen: Die Nullstelle einer quadratischen Funktion kann mit Hilfe von Lösungsformel gelöst werden (siehe hierzu die entsprechenden Kapitel im Themengebiet Mathematik - Gleichungen (lösen)). Für Gleichungen des Typs ax2 + bx + c = 0 gilt die Lösungsformel
Mitternachtsformel
  • Mithilfe der quadratischen Ergänzung lassen sich ebenfalls die Nullstellen bei einer quadratischen Gleichung ermitteln. Dabei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass diese Gleichung mithilfe einer binomischen Formel wiedergegeben werden kann.

Die ermittelten Nullstellen einer Funktion werden anschließend durch das entsprechende Paar (x,y) wiedergegeben: N1 (x1 / 0), N2 (x2 / 0), u.s.w